4. Некоторые замечания об отыскании собственных значений и собственных векторов матриц общей структуры.

Рассмотрим теперь кратко случай, когда матрица не является матрицей простой структуры. Если элементарные делители имеют вид

(некоторые могут совпадать), то найдутся такие векторы:

что

Общее количество векторов равно порядку матрицы и их можно принять за базис -мерного векторного пространства.

Запишем произвольный вектор в виде

Здесь принадлежат инвариантному для матрицы А линейному многообразию, построенному на векторах

В силу равенств (88) при будем иметь:

При получим:

Таким образом,

За норму вектора примем величину

Тогда из (92) следует:

Таким образом, с увеличением вектор будет все больше и больше приближаться по направлению к вектору если только Аналогичная картина будет наблюдаться и с остальными компонентами вектора

Из только что полученного результата можно сделать следующие заключения. При возрастании вектор будет неограниченно приближаться к инвариантному многообразию, порожденному векторами (87), соответствующими наибольшим по модулю собственным значениям. Если единственное наибольшее по модулю собственное значение кратности единица, то будут справедливы те же выводы, которые мы делали для матриц простой структуры. Если единственное наибольшее по модулю собственное значение и кратность его больше единицы, то поведение вектора будет определяться элементарными делителями матрицы , соответствующими собственному значению Если все они простые, то исследование проводится так же, как и для матрицы простой структуры. Если имеется

элементарный делитель с наибольшим то при больших вектор будет находиться в инвариантном многообразии, порожденном некоторыми векторами системы (87), соответствующими Все векторы и этого многообразия будут обладать свойством или

Поэтому при достаточно больших векторы будут связаны линейной зависимостью вида (95). При этом находится из уравнения

Если имеется несколько элементарных делителей наивысшей степени, то в характере поведения векторов изменения не произойдет, но вместо уравнения (96) получим уравнение где I — число соответствующих элементарных делителей.

Аналогично исследуется случай, когда имеется несколько различных максимальных по модулю собственных значений. В каждом таком случае при достаточно большом векторы будут связаны некоторой линейной зависимостью вида

При этом максимальные по модулю значения находятся из уравнения

Так как подробный разбор всех возможных случаев потребовал бы длинных рассуждений и так как матрицы, не имеющие простой структуры, встречаются сравнительно редко в вычислительной практике, мы этим заниматься не будем. Желающих изучить эти вопросы подробнее отсылаем к специальной литературе (см., например, К. А. Семендяев, О нахождении собственных значений и инвариантных многообразий матриц посредством итераций, ПММ, т. 7, 3, 1943, стр. 193—222).