2. Простейшие итерационные методы: метод секущих и метод Ньютона.

Если уравнение имеет корень а функция непрерывна в окрестности то уравнение

также имеет корень Функцию можно подобрать так, что итерационный процесс для уравнения (17) будет сходящимся.

Рассмотрим два классических метода, которые можно получить этим способом.

Пусть -действительная функция действительного переменного действительный корень уравнения Предположим, что в некоторой окрестности точки функция вместе с непрерывна, в этой окрестности не меняют знака. Это означает, что при переходе через функция меняет знак и имеет точку простым корнем. -точка рассматриваемой окрестности, в которой . В (17) в качестве функции возьмем функцию

Тогда уравнение

также имеет корнем За начальное приближение примем любую, достаточно близкую к а точку рассматриваемой окрестности, в которой имеет знак, противоположный а последующие приближения будем строить обычным способом:

Так как, с одной стороны,

а с другой стороны, по формуле Тейлора

где заключено между то, полагая получим:

Следовательно,

При достаточно близком к малое число, и поэтому существует такая окрестность точки а, в которой будет иметь место неравенство

и если взято из этой окрестности, то последовательность (19) будет сходиться к

Так как , то, положив будем иметь:

что позволяет на каждом шаге по значениям следить за достигнутой точностью.

Геометрически этот метод состоит в том, что значение есть абсцисса точки пересечения прямой, проходящей через точки с осью х (рис. 8).

Рис. 8.

Поэтому этот метод называют методом секущих или методом линейной интерполяции, так как на каждом шаге за приближенное значение корня принимается корень интерполяционного многочлена первой степени, построенного по значениям в точках

Метод секущих является итерационным методом первого порядка.

Второй классический метод решения уравнения метод Ньютона — получим, если положить в (17)

т. е. свести отыскание корня уравнения к отысканию корня уравнения

Будем предполагать, что на отрезке содержащем единственный корень уравнения функция имеет непрерывные производные не обращающиеся в нуль на этом отрезке. В этом случае

Это означает, что существует такая окрестность точки что если начальное приближение взято из этой окрестности, то последовательность

будет сходиться к Начальное приближение целесообразно выбирать так, чтобы было

Метод Ньютона применим не только для отыскания действительных корней уравнения но и комплексных корней, только нужно иметь в виду, - что при отыскании комплексного корня в случае действительной функции начальное приближение нужно брать комплексным числом, а не действительным.

В случае, если является действительным корнем уравнения этот метод имеет простую геометрическую интерпретацию. Значение есть абсцисса точки, пересечения касательной к кривой в точке с осью х (рис. 9). Поэтому метод Ньютона часто называют методом касательных.

Как видно из рис. 9 последовательные приближения к действительному корню в методе Ньютона сходятся к нему монотонно, приближаясь со стороны

Если за начальное приближение в методе Ньютона взять точку где то, как видно из рис. 10, мы можем не прийти к корню если только начальное приближение не очень хорошее.

Так как в методе Ньютона вообще говоря, не равна нулю, то метод Ньютона является итерационным методом второго порядка.

(кликните для просмотра скана)

Скорость сходимости метода Ньютона можно оценить следующим образом. По формуле Тейлора

где заключено между Отсюда

Следовательно,

Если где отрезок, содержащий на котором не меняют знака то

Это указывает на быструю сходимость метода Ньютона.

Комбинируя метод секущих и метод Ньютона, можно получить нестационарный метод отыскания действительных корней уравнения преимущество которого заключается в том, что при прежних предположениях относительно последовательные приближения лежат по разные стороны от корня, и поэтому можно следить в процессе вычислений за достигнутой точностью, и в то же время он сходится значительно быстрей метода секущих.

Пусть на отрезке содержится единственный корень уравнения на эгом отрезке не меняют знаков. Если то находим по формулам:

а следующие приближения находим по формулам:

Если же то находим по формулам:

а следующие приближения - по тем же формулам (26). Как видно из рис. 11, последовательные приближения всегда расположены по разные стороны от и первые совпадающие знаки и будут верными знаками для

Рис. 11.