определенную на множестве
функции, определенные на
некоторым образом соответствующие функциям
Способ этого соответствия зависит от способа переноса граничных условий с
на
Будем предполагать, что между функциями
выполнены условия согласования, под которыми мы будем понимать такие условия, связывающие
в отдельных точках, которые являются необходимыми и достаточными для существования хотя бы одной функции
удовлетворяющей условиям (4).
Пусть
классы функций, определенных на
классы функций, определенных на
такие, что при
определены
при этом
Будем предполагать, что в каждом из этих классов определена норма, вообще говоря, своя в каждом классе, обладающая обычными свойствами нормы. Эти нормы обозначим соответственно через
Пусть для функций
определенных на
определена норма
для функций
определенных на
— норма
и для функций
определенных на
— норма
Функции
определенные на
имеют смысл и на
следовательно, для них имеют смысл нормы
оператор
и т. д. Будем предполагать, что нормы
определены так, чтобы для любых функций
и сргс
имеют место предельные соотношения:
при
В этом случае мы будем говорить, что соответствующие нормы согласованы.
Говорят, что разностное уравнение (3) и граничные условия (4) аппроксимируют дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) на классе функций
если для любой функции
при
имеют место соотношения:
где через
обозначен оператор переноса граничных условий с
на
Далее, говорят, что порядок разностной аппроксимации равен
если для любой функции
имеют место
неравенства
где
не зависят от
Пример. Рассмотрим уравнение
в области
с граничными условиями:
Под сеткой
будем понимать совокупность точек
Определим операторы:
(см. скан)
Положим, далее,
Условиями согласования здесь будут условия:
которые получаются из следующих соображений. Точка
принадлежит
а точка
принадлежит
Следовательно, значения
в этих точках можно вычислять различными способами:
откуда
Аналогично получим и два других условия согласования.
За класс
примем совокупность функций с непрерывными производными второго порядка в замкнутой области
за
- совокупность всех непрерывных в
функций, а за
- совокупность всех непрерывных функций на
Нормы в этих классах функций введем следующим образом:
Для сеточных функций нормы введем так:
Так определенные нормы будут согласованы, так как при
Далее, при
Если вместо класса
дважды непрерывно дифференцируемых в
функций взять класс
всех функций, имеющих непрерывные
производные четвертого порядка, то
Таким образом, разностная схема
аппроксимирует в классе
дифференциальное уравнение с граничными условиями, а в классе
будем иметь аппроксимацию первого порядка.