2. Метод сеток для решения смешанных задач. Понятие устойчивости разностных схем.

Рассмотрим смешанные задачи для уравнения теплопроводности

Эти задачи ставятся следующим образом. Требуется найти решение уравнения (1) в прямоугольнике удовлетворяющее начальному условию

и граничным условиям

где заданные функции переменного Выбор функций позволяет получать различные задачи. Например, если то будем иметь первую краевую задачу, при - вторую краевую задачу.

При решении смешанных задач методом сеток, кроме аппроксимации дифференциального уравнения и начальных условий, необходимо аппроксимировать также и граничные условия. Простейшие разностные схемы для решения смешанных задач следующие. Рассматриваем сетку точек где Будем считать Узлы, лежащие на прямых будем считать граничными узлами, все другие — внутренними. Для внутренних узлов выписываем разностные уравнения того или другого типа, аппроксимирующие дифференциальное уравнение например уравнения (3) или (4), или (5). Для узлов, лежащих на начальной прямой из начальных условий имеем:

Для граничных узлов, лежащих на прямых запишем соотношения

аппроксимирующие с точностью до граничные условия Таким образом, мы можем получить три следующие разностные схемы:

Иногда для лучшей аппроксимации граничных условий привлекают еще два вертикальных ряда узлов или рассматривают сетку, сдвинутую на у в направлении оси х. В этом случае можно получить для граничных условий аппроксимацию второго порядка относительно Построение этой аппроксимации ничем не отличается от аппроксимации граничных условий для смешанных задач уравнений гиперболического типа, которые мы рассматривали в предыдущем параграфе, поэтому здесь мы на эгом останавливаться не будем. Так или иначе при любом способе аппроксимации мы получаем для отыскания значений решения смешанной задачи во внутренних и граничных узлах столько уравнений, сколько имеется неизвестных. Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, мы найдем приближенные значения решения поставленной задачи во всех узлах сетки. Для явных схем разрешимость полученной системы не вызывает сомнений, для неявных схем ее нужно исследовать в каждом отдельном случае. Для схемы (8) это нетрудно сделать.

Значительно сложней решается вопрос о том, насколько близки полученные методом сеток значения решения в узлах к значениям точного решения смешанной задачи для дифференциального уравнения и можно ли вообще путем измельчения сетки получить методом

сеток приближенное решение, сколь угодно близкое к точному решению. Естественно, что интерес могут представлять только такие разностные схемы, с помощью которых можно получить приближенное решение, достаточно близкое к точному, так называемые сходящиеся разностные схемы. Разностная схема называется сходящейся при заданном способе стремления к нулю, если решения системы разностлых уравнений стремятся при этом к точному решению задачи для дифференциального уравнения. В этом определении предполагается, что мы умеем точно решать системы разностных уравнений, но практически мы можем найти лишь приближенное решение этой системы. Поэтому из сходящихся разностных схем практический интерес могут представлять только те разностные схемы, для которых малые погрешности, допущенные в процессе решения разностных уравнений, не могут привести к большим отклонениям от точного решения системы. Такие схемы мы назвали устойчивыми. Пока мы оставим в стороне вопрос об исследовании сходимости разностных схем, а остановимся на исследовании устойчивости разностных схем для случая первой краевой задачи, т. е. в предположении, что . В дальнейшем мы докажем некоторые общие теоремы о сходимости и устойчивости разностных схем, из которых можно будет сделать заключения о сходимости рассматриваемых нами разностных схем для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Сначала уточним понятие устойчивости разностной схемы, о котором пойдет речь. Мы будем предполагать, что значения граничных функций в граничных узлах вычислены точно. Далее, будем предполагать, что при отыскании решения разностных уравнений погрешность допущена на слое, а дальше счет ведется точно. За счет погрешности на слое мы получим добавок к точному решению разностной схемы. Без ограничения общности можно считать, что погрешность допущена на начальном слое. Тогда добавки будут являться решением той же самой системы уравнений, но только значения их в граничных узлах, лежащих на прямых равны нулю, а значения в граничных узлах начального слоя равны допущенным погрешностям. Разностную схему будем называть устойчивой, если для всякого найдется такое , что как только

будет иметь место неравенство

для любого лишь бы причем не зависит от и Фактически это понятие непрерывной зависимости решения разностной схемы от начальных значений. Поэтому этот тип устойчивости называют еще устойчивостью по начальным значениям.

Перейдем теперь к исследованию на устойчивость схем (7) — (9).

Мы докажем, что схема (7) устойчива при а и неустойчива при схема (8) устойчива при всех а; схема (9) неустойчива при всех а. Здесь везде

Для доказательства этого утверждения рассмотрим функцию

Легко проверить, что

Будем искать частные решения разностных уравнений (7) — (9) вида

где некоторое число, которое нужно определить. Рассмотрим сначала разностную схему (7). Подстановка в (7) дает

или

При каждом фиксированном удовлетворяет граничным условиям . В силу линейности и однородности разностного уравнения линейная комбинация частных решений будет также решением разностного уравнения, удовлетворяющим граничным условиям:

Постоянные подберем так, чтобы были удовлетворены и начальные условия в узлах т. е.

Для того чтобы найти умножим обе части равенства на и просуммируем по I от 1 до Получим:

Далее, возводя то же самое равенство в квадрат и суммируя по I от 1 до получим:

В точности таким же приемом для отличного от нуля, получим:

Отсюда очевидно, что если при всех имеет место неравенство то

и, полагая докажем устойчивость разностной схемы. Так как в нашем случае то при Таким образом, разностная схема (7) устойчива при

Рис. 72.

Покажем теперь кеустойчивость этой схемы при . В этом случае для каждого достаточно большого можно найти такое целое число что где и не зависит от Это можно видеть из построенного на рис. 72 графика. Рассмотрим теперь следующее частное решение разностного уравнения:

Для этого решения

а

Следовательно, если сумма квадратов погрешностей в узлах начального ряда не равна нулю, то при очень малом шаге когда для отыскания решения в прямоугольнике нужно сделать большое число шагов в направлении оси сумма 2 для больших будет весьма велика, а это и означает, что разностная схема неустойчива.

Рассмотрим теперь разностную схему (8). Следуя нашему методу, ищем частные решения вида

Подстановка в разностное уравнение (8) дает

или

Так как

то при всех имеет место неравенство

из которого следует, что при всех а разностная схема (8) устойчива.

Для разностной схемы (9) подстановка в разностное уравнение дает

или

Обозначая через получим:

или

Таким образом, при всех а имеет место неравенство

Используя частное решение вида

и рассуждая точно так же, как и при доказательстве неустойчивости схемы (7) при а мы убеждаемся, что схема (9) неустойчива при всех а.

Мы рассмотрели простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности. Можно построить другие разностные схемы, например, используя способы построения разностных схем, описанные в § 2, причем можно получить схемы, дающие значительно лучшую аппроксимацию, чем мы имели для рассматриваемых схем, но каждый раз необходимо исследовать их на устойчивость, так как только устойчивые схемы представляют практический интерес.

Все разностные схемы разбиваются на два класса: явные схемы и неявные схемы. Явные схемы позволяют очень просто вычислить значения искомого решения в узлах горизонтального ряда, если известны значения решения на предыдущих рядах. Но они имеют существенный недостаток: для того чтобы они были устойчивы, необходимо налагать сильные ограничения на сетку. Так, в схеме (7) для устойчивости должно быть выполнено ограничение что требует очень мелкого шага по т. е. если нужно найти решение на конечном отрезке изменения то количество горизонтальных рядов узлов должно быть очень большим. Кроме того, если в ходе решения нужно уменьшить шаг по х, то нельзя этого сделать, не уменьшая шага по

Неявные схемы, например схема (8), свободны от этого недостатка, но использование их связано с другой трудностью: для отыскания значений решения в узлах горизонтального ряда при известных значениях в узлах предыдущих рядов приходится решать систему алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

Если для решения этих систем применять метод итераций, то увеличение шага по времени, допустимое в этом случае, приводит к увеличению числа итераций, необходимых для отыскания решения системы с заданной точностью. Если за начальные приближения принимать соответствующие значения в узлах предыдущего ряда, что вполне естественно, то с увеличением шага по число необходимых итераций растет, хотя и не пропорционально увеличению шага, а медленней, все же эффект выигрыша времени за счет увеличения шага по в значительной мере пропадает. В связи с этим возникает необходимость в более эффективных методах решения систем алгебраических уравнений, получающихся при использовании

неявных разностных схем. В следующем параграфе мы изложим метод прогонки, разработанный в Математическом институте им. Стеклова АН СССР.

Пример. Методом сеток найти решение уравнения

удовлетворяющее условиям

Воспользуемся простейшей устойчивой явной разностной схемой

выбрав шаг по оси и шаг I по оси

Ниже приведена таблица значений решения в узлах сетки (в единицах четвертого десятичного знака). Так как решение симметрично

(см. скан)

относительно прямой то в таблице даны лишь значения решения для

В строках 21—24 таблицы приведены значения точного решения задачи в указанных там узлах таблицы, а в строках 25-28 - погрешности приближенного решения в соответствующих узлах. Относительная погрешность не превосходит 2%. При сравнительно большом шаге результат совсем неплохой. Используем теперь неустойчивую явную разностную схему

Для того чтобы не ухудшать аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением, шаг по оси х возьмем равным 0,05, а шаг по оси т. е. оставим его прежним. Ниже приведена таблица полученных значений решения (строки снова в единицах четвертого десятичного разряда. В строке 7 приведены значения точного решения задачи для а в строке 8 указаны погрешности приближенных значений, полученных по указанной схеме, при Как видно из таблицы, после шести шагов по оси погрешности настолько велики, что по абсолютной величине в некоторых узлах даже превосходят значения точного решения. Это вполне естественно, так как схема неустойчива, поэтому небольшие погрешности в начальных значениях решения очень быстро возросли.

В строке 9 приведены значения решения при полученные по неявной схеме

при той же сетке а в строке 10 — погрешности этих значений. Как видим неявная схема дает хороший результат, так как после шести шагов относительные погрешности не превосходят 1%.

(см. скан)