2. Способ Чаплыгина построения улучшенных приближений.

Не всегда удается такими способами получить сразу достаточно тесные границы для Поэтому возникает задача об улучшении этих границ. С. А. Чаплыгин предложил способ по найденным получать улучшенные приближения При этом приходится накладывать довольно сильные ограничения на функцию

а именно предполагать, что сохраняет свой знак в области, ограниченной кривыми и прямыми

Рис. 21.

Геометрически это означает, что сечения поверхности плоскостями будут либо все время выпуклы, либо все время вогнуты (рис. 21).

Рассмотрим некоторое сечение поверхности плоскостью (рис. 22).

Рис. 22.

Через на рис. 21 обозначены соответственно точки пересечения кривых плоскостью сечения, а через проекции на сечение поверхности

Проведем секущую и касательную если и если Произведя такие построения при каждом х рассматриваемой области, получим две поверхности, одна из которых образована секущими, другая — касательными. Одна из поверхностей, будем обозначать ее будет расположена над.

поверхностью другая будет расположена люд поверхностью Таким образом,

Заметим, что функции и линейны относительно у. Следовательно, уравнения

интегрируются в квадратурах. Пусть и соответственно решения этих уравнений, удовлетворяющие тем же начальным условиям, что и прежде. Покажем, что эти функции удовлетворяют поставленным условиям. В самом деле, вдоль кривой имеем:

и, кроме того, Таким образом, и а из неравенства следует Аналогично проводится доказательство и для .

Приведем аналитическое изложение этого метода. Будем предлолагать, что Имеем:

Обозначим Вычитая из верхнего равенства нижнее и применяя к разности формулу Тейлора, получим:

где и Решение этого уравнения при начальных данных дает поправку, которую нужно прибавить к чтобы получить Отбросим член с Тогда функция удовлетворяющая уравнению

и начальным условиям будет удовлетворять неравенству С другой стороны, если положить то решением уравнения (39) с нулевым начальным значением будет тождественный нуль (по теореме единственности). Таким образом,

и если принять то будем иметь что нам и требовалось:

Для улучшения оценки сверху рассмотрим уравнения

Положим и вычтем из верхнего равенства нижнее. Получим:

Введем обозначение

Тогда

где

Обозначим через функцию

Производная этой функции равна

Так как по предположению то Поэтому неубывающая функция и Отсюда Таким образом, решение уравнения

обращающееся в нуль при будет при удовлетворять неравенству Так же как и для мы получим Поэтому, если принять то получим улучшенную верхнюю функцию

При порядок действий будет обратным.

В приведенном выше примере имеем Следовательно, мы можем применить наши рассуждения. Уравнение для определения будет

Его решение, обращающееся в нуль при имеет вид

Таким образом,

Уравнение для примет вид

и

а

Процесс уточнения границ можно повторять неограниченно, если только квадратуры выполнимы. Как было показано акад. . Лузиным, последовательность если О, или если будет стремиться к нулю как в предположении, что начальное приближение взято достаточно близким к у. Это очень быстрая сходимость, такая же, как и у метода Ньютона для решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Общность между

методом Ньютона и методом Чаплыгина не заканчивается на этом. Можно показать, что метод Чаплыгина является обобщением метода Ньютона на нелинейные функциональные уравнения.

К сожалению, обычно метод Чаплыгина приводит к очень сложным квадратурам, не выражающимся в элементарных функциях.