§ 3. Метод квадратного корня
В том случае, когда матрица А симметрическая, в приведенных ранее схемах можно сделать ряд упрощений. Мы не будем здесь останавливаться на этих довольно простых вопросах, а изложим вместо этого очень удобный для симметрических матриц метод квадратного корня.
Пусть данная нам система записана в виде
где А — квадратная симметрическая матрица, b - вектор-столбец из правых частей системы и х — вектор-столбец неизвестных. Решение системы (1) будем осуществлять в два этапа. На первом этапе представим матрицу А в виде
где
нижняя треугольная матрица и
транспонированная по отношению к
матрица. Такое представление всегда возможно. Чтобы не осложнять записей, ограничимся рассмотрением систем четвертого порядка. Будем разыскивать такие
что
Произведя умножение матриц в правой части и приравнивая затем соответствующие элементы правой и левой частей, получим следующие уравнения:
Отсюда последовательно находим:
Нетрудно сообразить, как будут выражаться а через
в общем случае системы
порядка.
Нужно заметить, что при действительных
могут получиться чисто мнимые значения Но так как вычисления с чисто мнимыми величинами нисколько не труднее, чем с действительными, это не вызовет дополнительных трудностей. Если, кроме того, матрица А положительно определенная, то мнимых величин вообще не будет.
После того как матрица
найдена, переходят ко второму этапу. При этом сначала решают систему
а затем находят х из системы
Так как обе системы с треугольными матрицами, то они решаются без труда.
Схема квадратного корня очень удобна, требует небольшого количества операций умножения и деления и очень небольших записей. Всего при решении системы
уравнений придется
раз произвести извлечение корня и проделать
операций умножения и деления
Проиллюстрируем этот метод на примере системы шести уравнений с симметрической матрицей. Часть коэффициентов мы не выписывали, пользуясь симметрией.
(см. скан)
Подставляя найденные значения в левые части системы, получим соответственно