§ 3. Метод квадратного корня

В том случае, когда матрица А симметрическая, в приведенных ранее схемах можно сделать ряд упрощений. Мы не будем здесь останавливаться на этих довольно простых вопросах, а изложим вместо этого очень удобный для симметрических матриц метод квадратного корня.

Пусть данная нам система записана в виде

где А — квадратная симметрическая матрица, b - вектор-столбец из правых частей системы и х — вектор-столбец неизвестных. Решение системы (1) будем осуществлять в два этапа. На первом этапе представим матрицу А в виде

где нижняя треугольная матрица и транспонированная по отношению к матрица. Такое представление всегда возможно. Чтобы не осложнять записей, ограничимся рассмотрением систем четвертого порядка. Будем разыскивать такие что

Произведя умножение матриц в правой части и приравнивая затем соответствующие элементы правой и левой частей, получим следующие уравнения:

Отсюда последовательно находим:

Нетрудно сообразить, как будут выражаться а через в общем случае системы порядка.

Нужно заметить, что при действительных могут получиться чисто мнимые значения Но так как вычисления с чисто мнимыми величинами нисколько не труднее, чем с действительными, это не вызовет дополнительных трудностей. Если, кроме того, матрица А положительно определенная, то мнимых величин вообще не будет.

После того как матрица найдена, переходят ко второму этапу. При этом сначала решают систему

а затем находят х из системы

Так как обе системы с треугольными матрицами, то они решаются без труда.

Схема квадратного корня очень удобна, требует небольшого количества операций умножения и деления и очень небольших записей. Всего при решении системы уравнений придется раз произвести извлечение корня и проделать

операций умножения и деления

Проиллюстрируем этот метод на примере системы шести уравнений с симметрической матрицей. Часть коэффициентов мы не выписывали, пользуясь симметрией.

(см. скан)

Подставляя найденные значения в левые части системы, получим соответственно