§ 4. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных

При изложении метода характеристик мы ограничимся случаем гиперболических систем двух и трех квазилинейных уравнений первого порядка и одним квазилинейным гиперболическим дифференциальным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными

1. Уравнения характеристик системы квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

где заданные функции переменных непрерывные и непрерывно дифференцируемые в некоторой области изменения своих аргументов. Такие системы называют квазилинейными.

Пусть — некоторое непрерывно дифференцируемое в области О плоскости х, у решение системы (1), а -некоторая гладкая кривая без кратных точек, расположенная в области О. Поставим такой вопрос: можно ли по значениям решения на кривой С, используя систему (1), найти на кривой С значения частных пронзав водных

Значения частных производных на кривой С связаны соотношениями

получающимися из системы (1), и дифференциальными соотношениями

где дифференциалы берутся вдоль кривой С. Таким образом, для определения получаем систему линейных уравнений первого порядка.

Предполагая, что в рассматриваемой точке кривой систему (3) можно переписать в таком виде:

а затем из системы (2) исключить неизвестные Для отыскания получим следующую систему уравнений:

Если из этой системы можно найти то с помощью системы (4) найдутся и (мы предполагали, что в рассматриваемой точке кривой Если это не так, то и систему (3) можно переписать в виде

и из системы (2) исключить После исключения получим систему

определитель которой отличается, может быть, только знаком от определителя системы (5). Обозначим определитель матрицы коэффициентов системы (5) через т. е.

Рассмотрим два случая:

1) определитель не обращается в нуль ни в одной точке кривой

2) определитель на кривой С тождественно равен нулю.

В первом случае система (5) имеет относительно единственное решение, а следовательно, в каждой точке кривой С по значениям на С и системе (1) можно однозначно найти частные производные этих функций.

Во втором случае, так как мы исходим из существующего решения системы (1), система (5) должна быть совместной, но так

как определитель ее равен нулю, то система (5) имеет бесконечно много решений. Таким образом, во втором случае по значениям на С и системе (1) нельзя однозначно определить частные производные решения на кривой С. В этом случае кривую С называют характеристикой системы (1), соответствующей данному решению системы. Кривую С вместе со значениями решения вдоль нее, т. е. кривую в мерном пространстве будем называть характеристической кривой. Характеристика С будет ее проекцией на плоскость х, у.

Тангенс угла наклона касательной к характеристике С с осью удовлетворяет уравнению

В фиксированной точке это будет уравнение степени относительно А. Если оно имеет действительных различных корней, то говорят, что в этой точке система (1) является гиперболической системой. Если это свойство имеет место в каждой точке некоторой области пространства то говорят, что система (1) суть гиперболическая система в этой области. Только такие системы мы и будем рассматривать.

При заданном решении гиперболической системы (1) в каждой точке области О, где это решение определено, уравнение (7) имеет действительных различных корней, определяющих направлений касательных к характеристикам, соответствующих данному решению. Обозначая через корни уравнения (7), являющиеся (при заданном решении функциями х и у, мы получим дифференциальных уравнений

Каждое уравнение определяет однопараметрическое семейство кривых — интегральных кривых этого уравнения, покрывающее область Через каждую точку пройдет одна и только одна кривая семейства. Рассматривая все уравнения или, что то же самое, рассматривая уравнение (7) как дифференциальное уравнение первого порядка степени, мы получим при заданном решении системы налагающихся однопараметрических семейств кривых, или семейств характеристик. Через каждую точку области будет проходить одна и только одна характеристика каждого семейства.

Если система (1) существенно квазилинейна, то ее характеристики существенно зависят от выбора решения системы и могут быть определены только, если известно решение. В случае линейной системы коэффициенты в (1) не зависят от и из уравнения (7) характеристики могут быть найдены независимо выбранного решения.

Предположим, что кривая С плоскости х, у есть характеристика системы (1), соответствующая заданному решению . На кривой С определитель обращается в нуль, но так как система (5) совместна, то и все определители, получающиеся заменой в столбца столбцом правых частей системы (5), должны также обращаться в нуль. Обозначим определитель, получающийся заменой в столбца столбцом свободных членов системы (5), через Тогда на кривой С функции будут связаны соотношениями

Не все эти условия являются независимыми между собой. Так как система (1) по условию гиперболическая, то матрица

имеет в точках кривой С ранг, равный В этом случае хотя бы одна из матриц, получающихся из последней заменой одного из столбцов столбцом свободных членов системы (5), будет иметь также ранг Пусть это будет матрица, полученная заменой к столбца. Тогда из условий

будут следовать все остальные условия в (9). Таким образом, на характеристике С решение связано двумя условиями (10), называемыми уравнениями характеристик. Первое из них называют уравнением направления характеристики, а второе — дифференциальным соотношением на характеристике. При данном в области решении системы (1) мы имеем семейств характеристик и на каждом из этих семейств имеем свое дифференциальное соотношение.

Заметим еще, что если мы будем рассматривать не характеристику, а характеристическую кривую, то она может принадлежать нескольким решениям системы (1), и если снять требование непрерывной дифференцируемости решения, то при непрерывности решения разрыва первых производных могут быть только на характеристике. Такие решения можно получить следующим образом. Возьмем два решения

имеющие непрерывные производные в области О, содержащей общую характеристику С, являющуюся проекцией на плоскость характеристической кривой, принадлежащей обоим решениям, и рассмотрим решение

Это решение будет непрерывно в области О, но на С будет иметь разрыв первых производных.

В заключение этого пункта выпишем уравнения характеристик для случаев Если уравнение имеет вид

то уравнение направления характеристик будет

а дифференциальное соотношение на них

Уравнения направлений характеристик

где — корни уравнения

Дифференциальные соотношения на характеристиках

или

где

Уравнения направлений характеристик

где - корни уравнения

Дифференциальные соотношения на характеристиках

или

где

Может случиться, что условие (20) будет удовлетворяться на какой-либо характеристике тождественно. В этом случае вместо условия (20) нужно на этой характеристике взять другое условие, которое может быть получено заменой в определителе (19) другого столбца столбцом свободных членов системы (5).