Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производныхПри изложении метода характеристик мы ограничимся случаем гиперболических систем двух и трех квазилинейных уравнений первого порядка и одним квазилинейным гиперболическим дифференциальным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными 1. Уравнения характеристик системы квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка.Рассмотрим систему
где Пусть Значения частных производных
получающимися из системы (1), и
где дифференциалы берутся вдоль кривой С. Таким образом, для определения Предполагая, что в рассматриваемой точке кривой
а затем из системы (2) исключить неизвестные
Если из этой системы можно найти
и из системы (2) исключить
определитель которой отличается, может быть, только знаком от определителя системы (5). Обозначим определитель матрицы коэффициентов системы (5) через
Рассмотрим два случая: 1) определитель 2) определитель В первом случае система (5) имеет относительно Во втором случае, так как мы исходим из существующего решения системы (1), система (5) должна быть совместной, но так как определитель ее равен нулю, то система (5) имеет бесконечно много решений. Таким образом, во втором случае по значениям Тангенс угла наклона касательной к характеристике С с осью
В фиксированной точке При заданном решении
Каждое уравнение определяет однопараметрическое семейство кривых — интегральных кривых этого уравнения, покрывающее область Если система (1) существенно квазилинейна, то ее характеристики существенно зависят от выбора решения системы и могут быть определены только, если известно решение. В случае линейной системы коэффициенты Предположим, что кривая С плоскости х, у есть характеристика системы (1), соответствующая заданному решению
Не все эти условия являются независимыми между собой. Так как система (1) по условию гиперболическая, то матрица
имеет в точках кривой С ранг, равный
будут следовать все остальные условия в (9). Таким образом, на характеристике С решение Заметим еще, что если мы будем рассматривать не характеристику, а характеристическую кривую, то она может принадлежать нескольким решениям системы (1), и если снять требование непрерывной дифференцируемости решения, то при непрерывности решения разрыва первых производных могут быть только на характеристике. Такие решения можно получить следующим образом. Возьмем два решения имеющие непрерывные производные в области О, содержащей общую характеристику С, являющуюся проекцией на плоскость
Это решение будет непрерывно в области О, но на С будет иметь разрыв первых производных. В заключение этого пункта выпишем уравнения характеристик для случаев
то уравнение направления характеристик будет
а дифференциальное соотношение на них
где — корни уравнения
Дифференциальные соотношения на характеристиках
или
где
где
Дифференциальные соотношения на характеристиках
или
где
Может случиться, что условие (20) будет удовлетворяться на какой-либо характеристике тождественно. В этом случае вместо условия (20) нужно на этой характеристике взять другое условие, которое может быть получено заменой в определителе (19) другого столбца столбцом свободных членов системы (5).
|
1 |
Оглавление
|