2. Метод конечных разностей решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Перейдем теперь к нелинейным уравнениям второго порядка. Этот случай потребует более громоздких рассуждений.

Будем рассматривать дифференциальное уравнение

и граничные условия

При этом будем предполагать, что непрерывная функция в некоторой области пространства х, выпуклой относительно и что неотрицательные числа. В дальнейшем мы наложим на функцию область и постоянные некоторые дополнительные ограничения.

Как и ранее, разбиваем отрезок на а равных частей точками:

Снова аппроксимируем дифференциальное уравнение в точке соотношением

а граничные условия — соотношениями:

Мы получили систему уравнений относительно неизвестного Отличие от предыдущего состоит в том, что теперь система, вообще говоря, нелинейна.

Дадим прежде всего итерационный способ решения такой системы. Итерации будем проводить по схеме

Здесь, как и обычно, индекс вверху означает номер приближения. На каждом шагу нам придется решать несложную систему линейных алгебраических уравнений. На основании предыдущего следует, что эта система всегда имеет единственное решение. Получим это решение в явном виде. Обозначим для краткости

На каждом шаге — это известная величина. Будем разыскивать в виде суммы

где удовлетворяет системе

а удовлетворяет системе

Ясно, что если нам удастся найти такие то полученное по формуле (38), будет удовлетворять (36).

Отыскание не встречает затруднений. Действительно, первое из равенств (40) означает, что вторая разность функции равна Таким образом, должна иметь вид

постоянные, которые следует подобрать так, чтобы выполнены граничные условия. Это накладывает следующие ограничения на С, и

Получили систему двух линейных уравнений для определения Чтобы эта система имела определенное решение, необходимо и достаточно требовать отличия от нуля определителя

Это требование мы будем считать выполненным. Тогда, решая систему (42), найдем:

Для отыскания удовлетворяющих (39), подберем сначала величины для которых выполнены следующие соотношения:

Величины будем искать в виде

где постоянные, подлежащие определению. Ясно, что при для построенных таким образом величин будут выполнены верхние из условий (46), ибо являются тогда многочленами первой степени по При будем иметь:

Итак, нижнее условие (46) даст

Условие (47) повлечет за собой

Вторая скобка не может быть тождественно равна нулю, так как тогда было Поэтому из (52) следует:

Совершенно аналогично из (48) получим:

или

Из (53) и (55) следует:

Будем рассматривать (51) и (56) как систему линейных алгебраических уравнений относительно Определитель этой системы равен

и по нашему предположению отличен от нуля. Таким образом,

и

Уравнениям (53), (55), (58), (59) удовлетворяет бесчисленное множество решений. Чтобы закрепить какое-то из них, положим

Тогда из (53) следует и (59) дают Таким образом

Нетрудно видеть, что является симметрической функцией своих индексов, т. е. что Таким образом, соотношения (46), (47) и (48) будут справедливы при замене на и наоборот. Рассмотрим

Очевидно,

т. e. , определенные (61), удовлетворяют первому из равенств (39). Далее,

т. е. и второе условие (39) выполнено. Окончательно находим:

Мы можем раз и навсегда вычислить и единообразным процессом находить последовательные приближения.

Перейдем теперь к исследованию сходимости этого процесса.

Прежде всего произведем некоторые оценки. Оценим Имеем:

Чтобы закончить оценку, нужно вычислить Для этого заметим, что все имеют отрицательный знак. Поэтому

Таким образом, есть решение уравнения

удовлетворяющее граничным условиям

Но из (67) следует, что

где некоторые постоянные. Потребуем выполнения условий (68). Условие даст

а условие

Итак, удовлетворяют системе уравнений

Определитель этой системы равеи

Решая систему (72), найдем:

Квадратный трехчлен примет наибольшее значение при это значение равно

Подставляя сюда вместо их значения, найдем:

где определено в (43). Таким образом,

где

Нам потребуется еще оценка Имеем:

Далее,

Но

и

Таким образом,

Отсюда

Окончательно получаем:

где

Заметим, что в оценках (78) и (86) величины не обязательно должны быть определены функцией а могут быть произвольными заданными числами.

Пусть в рассматриваемой области удовлетворяет условию Липщица по

Рассмотрим множество всевозможных совокупностей чисел Будем обозначать такие совокупности Множество можно сделать метрическим пространством, если определить расстояние между двумя совокупностями как

Нетрудно проверить, что все аксиомы метрического пространства при этом будут выполнены В дальнейшем будем рассматривать только такие совокупности для которых

Для каждой такой совокупности формула

определит отображение

элемента принадлежащего в элемент принадлежащий Если даны две такие совокупности то в силу (78) получим:

Аналогично, используя (86), найдем:

Таким образом,

Обозначим

Если то (95) показывает, что отображение А сжатое. В дальнейшем мы будем предполагать, что это условие выполнено.

Для применения принципа сжатых отображений требуется еще выбрать начальное приближение и область такими, чтобы все последующие приближения не выходили из области Для этого достаточно потребовать, чтобы для было выполнено условие (90) и чтобы к области принадлежали все точки для которых

Действительно, в этом случае неравенства (93) и (94) обеспечивают принадлежность всех последующих приближений к

Итак, при всех вышеуказанных предположениях будет применим принцип сжатых отображений, и следовательно, уравнения (34) и (35) имеют решения, удовлетворяющие неравенствам (97) и (98), и эти решения могут быть получены методом последовательных приближений (36) при подходящем выборе начальных приближений

Нам остается исследовать вопрос о сходимости конечноразностного решения к точному решению краевой задачи и об оценке отклонения этих решений. Сделаем еще два предположения относительно функции

1. Функция /(х, непрерывна в области вместе со всеми своими производными до второго порядка.

2. Краевая задача имеет решение лежащее в Используемое разностное уравнение также имеет решение, принадлежащее

Условимся о некоторых обозначениях. Точное решение краевой задачи (31) и (32) будем обозначать через и его значение в узле через Пусть и Через обозначим при Приближенное решение краевой задачи, полученное приведенным выше способом, будем обозначать через Наконец, обозначим -Рассмотрим выражение

Разлагая по формуле Тейлора относительно точки до членов, содержащих производные четвертого порядка, получим:

где

Аналогично найдем:

где

Так как удовлетворяет уравнению

и граничным условиям (35), то, вычитая, получим.

Повторяя рассуждения, при помощи которых мы нашли мула (64)), получим:

Отсюда сразу же следует сходимость. Стремление к нулю при первых двух членов правой части видно непосредственно. Стремление к нулю последнего члена следует из неравенства (78). Рассмотрим теперь

Это выражение можно записать в виде

Снова применяя разложение по формуле Тейлора, получим:

где

Используя (106), найдем:

Если вспомнить неравенство (85), то из (109) и (111) видно, что стремится к при

Равенство (106) можно использовать и для оценки Обозначая через верхнюю границу функции из (106), получим:

Мы не стремились дать здесь наилучшую оценку. Как и все оценки такого типа, она мало эффективна, а ее получение требовало бы громоздких рассуждений.

Конечноразностные методы могут быть использованы и для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка. Они могут быть использованы и для решения краевых задач с другими не рассмотренными здесь типами граничных условий. При этом обычно не возникает никаких принципиальных затруднений при составлении конечноразностного аналога заданной задачи. Но, естественно, возникают трудности при доказательстве сходимости и оценке погрешности.