2. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, мы прежде всего сталкиваемся с задачей замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями. Эта замена может быть выполнена разными способами.

Один из способов аппроксимации дифференциального уравнения разностным заключается в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции и в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. Такой прием был применен при построении разностного уравнения (4) в п. 1. В зависимости от того, какими формулами численного дифференцирования будем пользоваться, получим различную точность аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Рассмотрим, например, погрешность, получаемую в результате замены дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (4). Предполагая, что решение краевой задачи для уравнения (1) имеет непрерывные производные до четвертого

порядка включительно, имеем следующие равенства:

(см. скан)

которые легко получить, разлагая левые части по формуле Тейлора в окрестности точки Используя эти соотношения, имеем

где

Если ввести обозначения

то

Таким образом,

заменяя дифференциальное уравнение (1) разностным уравнением (4), мы совершаем ошибку, равную которая имеет порядок относительно шага полагая Если мы возьмем уравнение Пуассона

и квадратную сетку то при описанном способе замены производных получим следующее разностное уравнение:

При этом для погрешности аппроксимации к будем иметь оценку

Рис. 27.

В разностной схеме (10) для узла участвуют четыре соседних узла, расположенных по «кресту».

Другой способ получения разностных уравнений состоит в следующем. Для получения разностного уравнения, аппроксимирующего дифференциальное уравнение в узле рассмотрим узлов, расположенных определенным образом около точки Для простоты записи узел будем обозначать 0, а остальные рассматриваемые узлы перенумеруем числами Составим линейную комбинацию

с неопределенными коэффициентами где значение и в узле Предполагая у функции и наличие производных, разложим формуле Тейлора в окрестности узла 0. Подставим эти разложения в, линейную комбинацию и сгруппируем члены с одинаковыми производными от функции и. Получим

Заметим, что линейно выражаются через Остаточный член «будет иметь вид где — некоторое число, не зависящее от наименьшая по абсолютной величине разность координат узла

и узлов Далее, подбираем коэффициенты таким образом, чтобы правая часть в равенстве отличалась бы возможно меньше от дифференциального выражения в точке 0. Для этого потребуем, чтобы коэффициенты при производных в уравнении совпадали бы с коэффициентами при соответствующих производных в правой части (12):

и кроме того, коэффициенты при старших производных в (12) до порядка обращались бы в нуль, т. е.

Если при этом система уравнений относительно имеет решение, то мы найдем такие при которых

Используя достаточно большое число узлов можно получить достаточно хорошую аппроксимацию дифференциального уравнения в узле 0, заменяя дифференциальное уравнение разностным уравнением

Рис. 28.

Этот способ имеет то преимущество, что можно рассматривать не только прямоугольную сетку, но и другие сетки (треугольную сетку, сетку параллелограммов и др.).

Для внутренних узлов, достаточно удаленных от границы, расположение узлов, участвующих в линейной комбинации для составления разностного уравнения в них, можно и целесообразно сохранять. Для узлов, близких к границе, это не всегда удается. Но этот способ для этих узлов при другой конфигурации узлов, участвующих в линейной комбинации, часто позволяет получать разностные уравнения же точности. В частности, этот способ позволяет и граничные условия аппроксимировать достаточно точно.

Если имеется произвол в выборе решения системы для то выбирают наиболее простое решение с тем, чтобы получить наиболее простые разностные уравнения.

Рассмотрим этот метод на примерах аппроксимации уравнений Пуассона для разных сеток и некоторых других примерах.

Сначала рассмотрим разностную аппроксимацию уравнения Пуассона, если сетка квадратная с шагом разностном уравнении для узла участвуют узлы, помеченные номерами 1, 2, 3, 4 на

рис. 28. Учитывая равноправие в уравнении х и у и симметричное расположение узлов, очевидно, имеет смысл искать разностную аппроксимацию вида

Предполагая у функции и наличие достаточного числа производных и разлагая по формуле Тейлора в окрестности узла 0, будем иметь:

а

Для того чтобы аппроксимировало оператор Лапласа

необходимо потребовать выполнения условий

т. е.

Окончательно получаем:

Если в разложении (13) ограничиться разложением по формуле Тейлора с остаточным членом в производных четвертого порядка и положить

то для будем иметь следующую оценку:

Заменяя через и отбрасывая получим разностное уравнение

аппроксимирующее уравнение Пуассона причем погрешность аппроксимации не превосходит

Рис. 29.

Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию уравнения Пуассона, в которой используются узлы, изображенные на рис. 29. Из тех же соображений, что и в предыдущем примере, будем искать разностную аппроксимацию вида

Разлагая по формуле Тейлора и приводя подобные члены, будем иметь:

Для того чтобы аппроксимировало оператор Лапласа, положим

Подберем из того условия, чтобы члены с производными четвертого порядка могли быть получены путем дифференцирования оператора Лапласа. Для этого нужно положить Тогда для получим следующие значения:

и

где зависит, от производных восьмого порядка и имеет порядок Так как

то

и разностное уравнение

дает аппроксимацию уравнения Пуассона с точностью до

Если при выводе разностной аппроксимации воспользоваться разложением по формуле Тейлора с остаточным членом, содержащим

производные восьмого порядка, то, введя обозначение

для остаточного члена, дающего погрешность аппроксимации, будем иметь оценку

Пользоваться полученной разностной аппроксимацией уравнения Пуассона можно только в случае, если функция задана аналитически. Если же она известна только в узлах сетки или имеет сложное аналитическое выражение, то дифференцирование ее будет затруднительно. Поэтому в этом случае аппроксимацию упрощают, отбрасывая член с и заменяя через

В самом деле,

где

Рис. 30.

Подставляя вместо комбинацию , мы отбрасываем члены шестого порядка относительно и получаем разностную аппроксимацию

аппроксимирующую уравнение Пуассона с точностью до

Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию уравнения Пуассона для сетки из правильных треугольников со стороной (рис. 30). При составлении разностного уравнения для узла возьмем шесть ближайших окружающих его узлов 1, 2, 3, 4, 5, 6 и составим линейную комбинацию

Разлагая по формуле Тейлора в окрестности узла 0, будем иметь, учитывая, что координаты точек соответственно будут (см. стр. 422).

(см. скан)

Учитывая симметрию оператора Лапласа и симметричное расположение рассматриваемых узлов, можно положить Тогда

Для того чтобы аппроксимировало оператор Лапласа, нужно положить

откуда

Итак,

Если разлагать по формуле Тейлора с остаточным членом в производных шестого порядка, то

Уравнение Лапласа аппроксимируется разностным уравнением

с точностью до а уравнение Пуассона аппроксимируется разностным уравнением

с точностью а разностным уравнением

с точностью до

В заключение приведем пример разностной аппроксимации уравнения

для случая квадратной сетки с шагом при выборе узлов, отмеченных на рис. 31. В силу симметрии расположения узлов и симметрии уравнения относительно х и у можно искать разностную аппроксимацию в виде

Рис. 31.

При наличии производных шестого порядка у функции и разложение по формуле Тейлора дает

откуда

где

Чтобы разностный оператор аппроксимировал диффгренциальный оператор — нужно потребовать

выполнения условий

откуда

Таким образом,

где

Следовательно, разностное уравнение

аппроксимирует уравнение (20) с точностью до

Этих примеров достаточно для уяснения способов построения разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений, и, следуя им, читатель может построить разностные аппроксимации для других конкретных уравнений, имеющие необходимую точность. Необходимо только помнить, что, строя разностную аппроксимацию той или другой точности, нужно предполагать, что решение уравнения имеет необходимое число производных, а это накладывает определенные требования на коэффициенты уравнения, на область и на функции, входящие в краевые условия. Если они таковы, что решение может иметь производные только до какого-то определенного порядка, то не имеет никакого смысла при решении задачи методом сток использовать аппроксимации более высокого порядка, так использование усложнит работу, но отнюдь не улучшит результата.