4. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения.

Применяя метод сеток для решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения с линейными граничными

условиями, мы получаем систему линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных. Естественно возникает вопрос о разрешимости этой системы и способах ее решения. Рассмотрим эти вопросы для системы (4), которая получается при решении задачи Дирихле для уравнения (1) методом сеток при разностной аппроксимации, изложенной в п. 1 настоящего параграфа. Эта система имеет вид

где число неизвестных равно числу уравнений, т. е. числу внутренних узлов. Перепишем эту систему в другом виде, сгруппировав члены, содержащие одни и те же неизвестные. Получим систему

где

Так как мы предполагаем, что непрерывны в области причем то при достаточно малых коэффициенты будут положительны во всех узлах сеточной области. Будем предполагать, что это условие выполнено. В этом случае имеет место теорема (принцип максимума).

Если какая-либо система значений в узлах сетки и для каждого внутреннего узла то во внутренних узлах О не могут иметь положительного максимума, а если во всех внутренних узлах то во внутренних узлах не могут иметь отрицательного минимума. Исключением является случай

В самом деле, пусть и во всех внутренних узлах меет место неравенство Предположим, что достигает положительного максимума в некотором внутреннем узле. Тогда можно найти такой внутренний узел в котором и хотя бы в одном соседнем с ним узле значение меньше . В выражении заменим на тогда будем иметь строгое неравенство

Но

Таким образом, что невозможно. Следовательно, наше допущение было неверно и первая часть утверждения доказана. Вторая часть доказывается совершенно аналогично.

Теперь легко показать, что система (4) имеет решение и притом единственное. Для этого достаточно доказать, что соответствующая однородная система и все значения в граничных узлах равны нулю) имеет только тривиальное решение, а это сразу следует из принципа максимума. Так как если бы решение однородной системы было отлично от нуля хотя бы в одной точке, то оно должно достигать на либо наибольшего положительного значения, либо наименьшего отрицательного значения, что невозможно, так как на по условию Следовательно, однородная" система имеет лишь тривиальное решение, а неоднородная система (4) имеет одно и только одно решение.

Совершенно аналогично можно доказать разрешимость систем уравнений, которые получаются при решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом сеток при всех разностных аппроксимациях, которые мы рассмотрели в п. 2, а также системы уравнений, в которой для граничных узлов записываются уравнения по способу Коллатца, так как во всех этих случаях для разностных операторов имеет место принцип максимума.

Для решения получаемых систем могут быть использованы методы, изложенные в главе 6. Часто применяют метод простой итерации или метод Зейделя. Докажем сходимость этих методов применительно к системе (4), дополненной уравнениями Коллатца для определения значений в граничных узлах. Для применения метода простой итерации удобней систему переписать в таком виде:

В этом случае, когда коэффициент в уравнении (1) строго отрицателен, а сетка выбрана настолько мелкой, что положительны, сходимость процесса простой итерации и процесса Зейделя доказывается очень просто, так как тогда в системе (28) все коэффициенты положительны и сумма коэффициентов в правой части каждого уравнения строго меньше единицы, в силу неравенства

т. е.

Этого достаточно для сходимости обоих процессов итерации, причем скорость сходимости будет определяться величиной

Это доказательство не пройдет, если может обращаться в нуль, так как в этом случае в некоторых уравнениях сумма коэффициентов будет равна единице. Поэтому мы приведем отдельно доказательство сходимости итерационных методов решения системы (28) для случая

Начнем с простой итерации. В этом случае последовательные приближения находятся из соотношений

Введем обозначения:

Назовем граничные узлы узлами первого разряда. Внутренние узлы, у которых среди соседних имеется хотя бы один граничный узел, назовем узлами второго разряда. Внутренние узлы (не принадлежащие предыдущим разрядам), у которых среди соседних имеется хотя бы один узел второго разряда, назовем узлами третьего разряда и т. д. Таким образом, все граничные и внутренние узлы мы разобьем на конечное число разрядов, причем каждый узел будет принадлежать к одному и только одному разряду. Пусть число разрядов равно Тогда из неравенств

для узлов первого разряда будем иметь неравенство

для узлов второго разряда — неравенство

для узлов третьего разряда — неравенство

наконец, для узлов разряда — неравенство

откуда будем иметь неравенство

где

или

и так как при то при , а это означает, что процесс простой итерации сходится.

Рассмотрим теперь сходимость процесса Зейделя в случае, если Для исследования сходимости этого метода перенумеруем все внутренние и все граничные узлы, которые не находятся на и для которых записываются особые соотношения по Коллатцу следующим образом. За первый узел примем один из граничных узлов, не принадлежащих или если таковых нет, то один из внутренних узлов, у которого среди соседних есть граничный узел; за второй узел примем один из узлов, среди соседних у которого будет первый узел; за третий примем узел, у которого соседним будет второй узел, и т. д. Перепишем систему уравнений (28) в порядке новой нумерации узлов (т. е. искомых неизвестных) и для ее решения будем применять метод Зейделя. Если мы возьмем фиксированный узел правой части уравнения для этого узла исключим последовательными подстановками значения приближения в узлах предыдущих по номеру, то значение приближения решения в этом узле можно представить в следующем виде:

число узлов, не лежащих на — число узлов на Коэффициенты не зависят от номера Все коэффициенты и неотрицательны, так как они получаются сложением и умножением неотрицательных чисел. Далее, при любом имеет место равенство

Это равенство следует из таких соображений. Коэффициенты и не зависят от граничных значений и правых частей. Поэтому если положить и за нулевое приближение ипринять значения, равные единице, во всех узлах, то при всех будем иметь а отсюда и будет следовать равенство (31). Так как при любом хотя бы один из коэффициентов то Пусть Если решение системы (28), то к

Вычитая его из равенства (30), получим:

откуда

Отсюда, если ввести обозначение будем иметь неравенство

а следовательно,

Так как то при при Таким образом, сходимость метода Зейделя для нашей системы доказана.