3. Связь сходимости с корректностью разностной схемы.

Из корректности разностной схемы (3) — (4), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (1) с граничными условиями (2), следует сходимость последовательности решений разностной схемы к точному решению граничной задачи для дифференциального уравнения. Поэтому вместо доказательства сходимости достаточно установить корректность разностной схемы. Это следует из теоремы:

Если решение дифференциального уравнения (1) с граничными условиями (2) существует и принадлежит а разностная схема (3) — (4) аппроксимирует уравнение (1) с граничными условиями (2) на классе и корректна, то при решения разностной схемы сходятся по норме к решению и граничной задачи для дифференциального уравнения, т. е.

Если уравнения (1) и (3) и граничные условия (2) и (4) линейны и порядок аппроксимации равен то имеет место следующая оценка скорости сходимости:

причем

Доказательство. Если то, обозначая через через из условия аппроксимации при достаточно малых имеем:

а тогда из условия корректности следует, что при достаточно малом 8 имеет место неравенство

В линейном случае, так как

то

где Тогда из условия, что мы имеем аппроксимацию порядка , следует

В силу корректности разностной схемы для любой функции имеет место неравенство

откуда и получаем требуемую оценку скорости сходимости, полагая и используя оценки для

Для доказательства неравенства (25) по свойству норм имеем:

Но при , а для имеет место неравенство (26). Отсюда, переходя к пределу, и получим неравенство (25).

Заметим следующее:

Если некоторые из граничных условий (2) аппроксимируются точно, т. е. при некоторых и для на то требование устойчивости соответствующим граничным условиям в доказанной теореме можно отбросить и требовать лишь устойчивость по правым частям и всем остальным граничным условиям.

Представляет интерес следующая теорема, используя которую можно обосновать метод Рунге приближенной оценки погрешности метода сеток:

Теорема. Если уравнение (3) и граничные условия (4) линейны и выполнены условия предыдущей теоремы, а аппроксимация такова, что существуют пределы

где — решение задачи (1) — (2), т. е. существуют такие функции и что

a есть решение граничной задачи

принадлежащее к некоторому классу на котором аппроксимируют то

Доказательство. Пусть — решение граничной задачи -решение разностной схемы (3) — (4). Пусть По условию теоремы

где при , т. е.

Если есть решение задачи (29), то по определению аппроксимации

где и при . Так как линейны, то из последнего равенства и равенств (31) имеем:

Так как при правые части по соответствующим нормам стремятся к нулю, то в силу корректности разностной схемы

Эта теорема позволяет оценить погрешность в решении, которую мы получаем, заменяя дифференциальное уравнение разностным.

Пусть — решения разностной схемы при где и сетка О есть часть сетки Если выполнены

условия последней теоремы, то

Исключая из этих равенств получим:

откуда

Этой формулой иногда пользуются для получения более точного решения, чем

Пример. Пусть в области О с границей требуется найти решение уравнения

где - заданные функции, непрерывные в удовлетворяющие следующим условиям:

( - положительные постоянные), а заданная функция, непрерывная на Будем предполагать, что область О лежит в круге Рассмотрим сетку состоящую из точек лежащих в Назовем граничными узлами сетки те ее точки, для которых хотя бы одна из четырех ее соседних точек лежит вне Рассмотрим следующую разностную схему:

где значения соответствующих функций в точке функция, полученная из непрерывным продолжением на всю область О. Докажем корректность этой схемы. Пусть

Так как

то

Отсюда

а

Если есть решение разностной схемы при то

Следовательно, не может иметь положительного максимума в (см. § 2) и Аналогично получим неравенство т. е.

и

а это означает, что однородная задача имеет только тривиальное решение. Следовательно, рассматривая разностную схему как систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными значениями в узлах сетки, можно заключить, что ее определитель отличен от нуля, а поэтому разностная схема имеет решение при всех Так как оценка не зависит от то

разностная схема корректна, если за взять максимумы абсолютных величин соответствующих сеточных функций на соответствующих множествах.

Из теоремы сходимости корректной разностной схемы будет следовать, что если граничная задача для нашего дифференциального уравнения имеет дважды непрерывно дифференцируемое решение, то равномерно сходится к этому решению при