Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
а тогда из условия корректности следует, что при достаточно малом 8 имеет место неравенство
В линейном случае, так как
то
где
Тогда из условия, что мы имеем аппроксимацию порядка
, следует
В силу корректности разностной схемы для любой функции
имеет место неравенство
откуда и получаем требуемую оценку скорости сходимости, полагая
и используя оценки для
Для доказательства неравенства (25) по свойству норм имеем:
Но
при
, а для
имеет место неравенство (26). Отсюда, переходя к пределу, и получим неравенство (25).
Заметим следующее:
Если некоторые из граничных условий (2) аппроксимируются точно, т. е. при некоторых
и для
на
то требование устойчивости
соответствующим граничным условиям в доказанной теореме можно отбросить и требовать лишь устойчивость по правым частям и всем остальным граничным условиям.
Представляет интерес следующая теорема, используя которую можно обосновать метод Рунге приближенной оценки погрешности метода сеток:
Теорема. Если уравнение (3) и граничные условия (4) линейны и выполнены условия предыдущей теоремы, а аппроксимация такова, что существуют пределы
Так как
то
Отсюда
а
Если
есть решение разностной схемы при
то
Следовательно,
не может иметь положительного максимума в
(см. § 2) и
Аналогично получим неравенство
т. е.
и
а это означает, что однородная задача
имеет только тривиальное решение. Следовательно, рассматривая разностную схему как систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными значениями
в узлах сетки, можно заключить, что ее определитель отличен от нуля, а поэтому разностная схема имеет решение при всех
Так как оценка
не зависит от
то
разностная схема корректна, если за
взять максимумы абсолютных величин соответствующих сеточных функций на соответствующих множествах.
Из теоремы сходимости корректной разностной схемы будет следовать, что если граничная задача для нашего дифференциального уравнения имеет дважды непрерывно дифференцируемое решение, то
равномерно сходится к этому решению при