5. Видоизменение Лемера метода Лобачевского.

Наряду с исходным многочленом

рассмотрим многочлен

где произвольное действительное или комплексное число. В равенстве (46), как и всюду в дальнейшем, не выписываются явно члены с и более высокими степенями Очевидно,

В целях упрощения записи формул мы условимся в дальнейшем считать все агде отрицательно или больше , а также равными нулю. Будем квадрировать многочлен После

первого квадрирования получим многочлен коэффициенты которого имеют вид

Таким образом, примет вид

где

При последующих квадрированиях мы будем получать многочлены коэффициенты которых находятся последовательным применением формул (49), т. е.

где

Обозначим корни уравнения через причем будем предполагать, что

Корнями уравнения будут: Если обозначить через то корнями уравнения будут Не уменьшая общности, можно предположить, что тогда и все Так как

произвольное число, то

Полагая здесь получим:

(см. скан)

то из (52) и (53) имеем:

откуда

Следовательно,

Рассмотрим теперь случай, когда имеется пара комплексно-сопряженных корней. Пусть это будут корни

Относительно остальных корней предположим, что они удовлетворяют условию

Тогда из (52) и (53) следует, что

или

т. е. мы найдем и а следовательно и Далее,

Остальные корни находятся так же, как и в предыдущих случаях, по формулам (55). Можно рассмотреть аналогично случаи, когда кратные или комплексные корни имеют промежуточные модули. Наличие комплексных корней и их место обнаруживаются так же, как и в методе Лобачевского.

Видоизменение Лемера метода Лобачевского имеет несомненные преимущества по сравнению с обычным методом Лобачевского, так как при его применении не приходится извлекать корней высоких степеней, а также при наличии различных корней с одинаковыми модулями нет необходимости разъединять эти корни, рассматривая уравнение и применяя к нему повторно метод Лобачевского.