§ 5. Обзор других способов получения характеристического многочлена

В настоящее время известно большое число других способов получения характеристического многочлена. Нет никакой возможности изложить их подробно в нашей книге. Поэтому мы в настоящем параграфе ограничимся лишь кратким обзором некоторых методов, не изложенных ранее.

1. Метод Леверрье.

Обозначим корни характеристического многочлена через Тогда если

то

Выражения, стоящие в правой части равенства (2), являются симметрическими функциями корней характеристического уравнения. Рассмотрим еще следующие симметрические функции корней:

Из курса высшей алгебры известно, что связаны соотношениями (формулы Ньютона)

Отсюда получаем:

и мы можем найти все если будут известны Но равняется следу матрицы Поэтому, вычислив и найдя их следы, мы можем найти характеристический многочлен. Процесс довольно трудоемкий, так как приходится производить большое количество умножений матриц. Фаддеев предложил усовершенствование метода Леверрье. Оно состоит в следующем.

Рассмотрим матрицу присоединенную для матрицы . При этом

где характеристический многочлен матрицы Матрицу можно записать в виде

где квадратные матрицы порядка не зависящие от Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в правой и левой

частях (6) и учитывая (7), получим:

Отсюда получим:

Так как определяется следом матрицы А и, следовательно, известно, то мы сможем найти Умножая равенство (10) на А и беря след от обеих частей равенства (мы будем обозначать след матрицы В через найдем в силу второго из равенств (5):

Это нам позволит найти Затем мы находим при помощи третьего из равенств (8) и умножая на А, найдем:

Продолжая эти рассуждения, мы придем в конце концов к равенству

Последнее из уравнений (8) будет служить для контроля правильности вычислений.

В процессе вычислений мы найдем определитель матрицы А, равный присоединенную к А матрицу, равную а следовательно и обратную матрицу Если — корень характеристического многочлена то столбцы являются собственными векторами А, так как

Это наверняка произойдет, если простой корень . В случае, если кратный корень для получения собственных векторов может потребоваться переход от к производным ее по

Метод Фаддеева также требует большого числа операций, но зато он дает возможность кроме характеристического многочлена находить еще ряд величин.

2. Метод окаймления.

Если записать матрицу А в виде

где — квадратная матрица, состоящая из элементов первых строк и столбцов А, то матрица о которой говорилось ранее, может быть представлена так:

где многочлен является характеристическим для и разбиение (16) на клетки соответствует разбиению (15). В силу равенства

будем иметь:

Таким образом, если известен многочлен первое из равенств (18) даст нам возможность найти а второе из равенств даст возможность найти Этими рассуждениями можно воспользоваться для отыскания характеристического многочлена если, начиная с последовательно находить все

3. Эскалаторный метод.

Приведем еще один метод, позволяющий использовать собственные значения и собственные векторы матрицы для получения собственных значений и собственных векторов матрицы (15). Чтобы избежать разбора возможных исключительных случаев и не слишком усложнять изложение, предположим, что матрица симметрическая и все ее собственные значения различны. Обозначим собственные значения через

и соответствующие им ортонормированные собственные векторы — через

При этом

где

Будем предполагать, что в получено транспонированием Собственный вектор (15) ищем в виде

где z - некоторый -мерный вектор-столбец, число. Из равенства

следует:

Первое равенство (23) можно записать в виде

Так как

то из равенства (24) следует:

и

Собственный вектор А определяется с точностью до постоянного множителя. Поэтому мы можем выбрать произвольным числом. Следовательно, (27) дает возможность найти z, если известно а.

Значение X можно найти, воспользовавшись вторым из равенств (23). Подставляя туда вместо z его значение по (27), получим:

или

Формула (29) показывает, что имеется ровно собственных значений А. Эти собственные значения расположены следующим образом: одно из них меньше расположены между и одно

больше чем Так как собственные значения А разделены собственными значениями то последующее их вычисление по тем или иным формулам предыдущей главы не вызывает затруднений.

Такой метод получения собственных значений матрицы и ее собственных векторов называют эскалаторным.

4. Метод Самуэльсона.

Запишем матрицу А в виде

и пусть характеристические многочлены матриц имеют вид

Между коэффициентами имеют место следующие соотношения:

Эти соотношения можно получить, например, следующим образом. Запишем матрицу присоединенную к , в виде

Условие

даст

Отсюда

и

Из (38) и следуют (33).

Применим теперь для отыскания коэффициентов метод Крылова, взяв за начальный вектор Получим систему уравнений

Так как коэффициенты являются линейными комбинациями то их можно определить (не находя по схеме Гаусса без обратного хода (см. § 2 главы 6). Это и осуществляет метод Самуэльсона.

5. Интерполяционный метод.

Для интерполяционного метода специальный вид определителя, дающего характеристический многочлен, не имеет значения. Поэтому мы будем рассматривать произвольный определитель, элементы которого являются многочленами от X:

Пусть степень многочлена равна Вычислим определитель (40) при каких-либо различных значениях и построим соответствующий интерполяционный многочлен. Этот интерполяционный многочлен будет совпадать с Теоретически метод совершенно прост. Практически он может потребовать выполнения большого числа операций. Так как вопросы интерполирования разобраны нами очень подробно, то в детали входить не будем.

На этом мы и закончим рассмотрение способов приведения характеристического определителя к многочленному виду.