4. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем.
Исследование устойчивости с помощью принципа максимума. Если для разностной схемы
имеет место в какой-либо форме принцип максимума, то часто удается, используя его, доказать устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям этой разностной схемы. Такой прием был использован в примере п. 3, где использовался принцип максимума в форме: если
то
не может иметь положительного максимума ни внутри, ни на границе области.
Исследование устойчивости с помощью индекса разностной схемы. Если разностная схема линейна и
граничных условий являются начальными условиями в том смысле, в котором они были определены в п. 2, то при любом
значения
на любом слое
можно выразить в виде линейной комбинации значений
в точках слоев
и члена, зависящего только от правых частей
и
разностной схемы (3) — (4). Максимум суммы абсолютных величин коэффициентов этой линейной комбинации по всем узлам сетки называют индексом I разностной схемы (3) — (4). Если область О конечна,
и I — соответственно шаги сетки по пространственным координатам
и времени
то если существует постоянная
не зависящая от
и I, такая, что
а нормы определены следующими равенствами:
то разностная аппроксимация (3) — (4) равномерно устойчива по начальным условиям.
Это утверждение непосредственно следует из теоремы о равномерной устойчивости по начальным условиям, так как неравенства (16) и (17), фигурирующие в условии этой теоремы, будут иметь место, если положить
Приведем пример применения этого способа исследования устойчивости.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
в области
граничными условиями
где
Эта задача аппроксимируется с помощью разностной схемы
где
а сетка состоит из точек
Так как
то
и поэтому разностная схема устойчива.
Для того же уравнения и при той же области О рассмотрим граничные условия
Разностное уравнение оставим прежним, а граничные условия для разностного уравнения запишем в виде
Тогда
Таким образом,
и разностная схема будет устойчива, еслитолько имеют место неравенства
Исследование устойчивости путем изучения роста единичной ошибки. Пусть снова разностная схема (3) — (4) линейна
и первые
граничных условий являются начальными. Если при вычислении решения разностного уравнения допущена ошибка, равная
только в одном узле слоя
а во всех других узлах мы не делаем новых ошибок, то она вызовет ошибки в некоторых узлах слоев
Если эти ошибки быстро растут с возрастанием номера слоя, то можно ожидать, что схема не будет устойчивой, а если же они не растут, то можно надеяться на устойчивость. Это — метод исследования устойчивости с помощью
-схемы, о котором мы говорили в § 5. Эти соображения лежат в основе принципа устойчивости, применимого к исследованию многих явных разностных схем.
Пусть область О конечна, а
-шаг сетки по
шаги сетки по
Если разностная схема линейна и первые
граничных условий являются начальными условиями для разностного уравнения, имеющего вид
где
а через 2 обозначена сумма членов, содержащих значения
в узлах слоев
есть решение однородного уравнения
равное нулю во всех узлах слоев
кроме какого-либо одного узла слоя
где
и любое такое решение на любом слое
удовлетворяет неравенству
где С не зависит от к,
и от выбора точки, в которой
то разностная схема
устойчива по правой части в норме
Для доказательства представляем
в виде суммы функций, каждая из которых отлична от нуля лишь в одном узле сетки. Тогда
будет суммой решений, аналогичных
и оцениваемых по неравенству (32).
Исследование устойчивости методом разделения переменных. Этот метод исследования устойчивости мы уже применяли в § 5. Здесь мы проиллюстрируем его еще на одном примере.
Рассмотрим разностный метод решения задачи о колебании гибкой струны, закрепленной на концах
рассмотренный в примере п. 1 данного параграфа. Разностная схема и сетка те же, что и в указанном примере. Для исследования устойчивости рассмотрим однородное разностное уравнение с однородными граничными.
условиями, кроме начальных, т. е. будем рассматривать схему
и применим к ее решению метод разделения переменных, положив
Так как коэффициенты уравнений не зависят от можно взять
где X — пока неизвестная величина. Подставляя
в разностное уравнение, получим:
или
Мы имеем линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Для
в силу граничных условий имеем:
Будем искать решение этого уравнения в виде
где а — искомая величина. Подстановка в уравнение после сокращения на
дает
или
откуда
Общее решение уравнения имеет вид
где
- произвольные постоянные. Из граничных условий имеем:
т. е.
или, так как
Отсюда
Система функций
ортогональна и полна, т. е.
и любая функция
определенная на множестве точек
для которой
представляется в виде линейной комбинации этих функций.
Для
получим следующее равенство:
откуда
Следовательно,
Для устойчивости разностной схемы нужно потребовать, чтобы все
были по модулю меньше или равны единице и среди них не должно быть кратных (рассуждения те же, что и в § 5, так как любое решение
представляется в виде линейной комбинации решений вида
которое соответствует корню характеристического уравнения X кратности
Так как
и при всех
то это возможно лишь в том случае, если
т. е. при
или
Итак, устойчивость будет иметь место, если при всех
будет выполнено неравенство
или при
.
Из теоремы сходимости устойчивой разностной схемы будет следовать, что в нашем случае при
последовательность
будет сходиться к точному решению граничной задачи для дифференциального уравнения.
Изложенные выше приемы исследования устойчивости разностных схем применимы в основном для разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами, как правило, очень сложная задача. Если уравнение с непрерывными коэффициентами рассматривается в конечной области, то на практике применяют следующий принцип:
Заменяем в уравнении все переменные коэффициенты постоянными, полагая их равными значениям переменных коэффициентов в какой-либо точке
области. Если при любом выборе точки
полученная разностная схема с постоянными коэффициентами будет устойчива, то устойчива и разностная схема с переменными коэффициентами.
В случае нелинейного дифференциального уравнения задача исследования устойчивости разностной схемы еще больше усложняется. В этом случае Исследуют устойчивость в окрестности искомого решения для линеаризованного уравнения.