4. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем.

Исследование устойчивости с помощью принципа максимума. Если для разностной схемы имеет место в какой-либо форме принцип максимума, то часто удается, используя его, доказать устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям этой разностной схемы. Такой прием был использован в примере п. 3, где использовался принцип максимума в форме: если то не может иметь положительного максимума ни внутри, ни на границе области.

Исследование устойчивости с помощью индекса разностной схемы. Если разностная схема линейна и граничных условий являются начальными условиями в том смысле, в котором они были определены в п. 2, то при любом значения на любом слое можно выразить в виде линейной комбинации значений в точках слоев и члена, зависящего только от правых частей и разностной схемы (3) — (4). Максимум суммы абсолютных величин коэффициентов этой линейной комбинации по всем узлам сетки называют индексом I разностной схемы (3) — (4). Если область О конечна, и I — соответственно шаги сетки по пространственным координатам и времени то если существует постоянная не зависящая от и I, такая, что а нормы определены следующими равенствами:

то разностная аппроксимация (3) — (4) равномерно устойчива по начальным условиям.

Это утверждение непосредственно следует из теоремы о равномерной устойчивости по начальным условиям, так как неравенства (16) и (17), фигурирующие в условии этой теоремы, будут иметь место, если положить

Приведем пример применения этого способа исследования устойчивости.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

в области граничными условиями

где

Эта задача аппроксимируется с помощью разностной схемы

где а сетка состоит из точек

Так как

то и поэтому разностная схема устойчива.

Для того же уравнения и при той же области О рассмотрим граничные условия

Разностное уравнение оставим прежним, а граничные условия для разностного уравнения запишем в виде

Тогда

Таким образом,

и разностная схема будет устойчива, еслитолько имеют место неравенства

Исследование устойчивости путем изучения роста единичной ошибки. Пусть снова разностная схема (3) — (4) линейна

и первые граничных условий являются начальными. Если при вычислении решения разностного уравнения допущена ошибка, равная только в одном узле слоя а во всех других узлах мы не делаем новых ошибок, то она вызовет ошибки в некоторых узлах слоев Если эти ошибки быстро растут с возрастанием номера слоя, то можно ожидать, что схема не будет устойчивой, а если же они не растут, то можно надеяться на устойчивость. Это — метод исследования устойчивости с помощью -схемы, о котором мы говорили в § 5. Эти соображения лежат в основе принципа устойчивости, применимого к исследованию многих явных разностных схем.

Пусть область О конечна, а -шаг сетки по шаги сетки по Если разностная схема линейна и первые граничных условий являются начальными условиями для разностного уравнения, имеющего вид

где а через 2 обозначена сумма членов, содержащих значения в узлах слоев есть решение однородного уравнения равное нулю во всех узлах слоев кроме какого-либо одного узла слоя где и любое такое решение на любом слое удовлетворяет неравенству

где С не зависит от к, и от выбора точки, в которой то разностная схема устойчива по правой части в норме

Для доказательства представляем в виде суммы функций, каждая из которых отлична от нуля лишь в одном узле сетки. Тогда будет суммой решений, аналогичных и оцениваемых по неравенству (32).

Исследование устойчивости методом разделения переменных. Этот метод исследования устойчивости мы уже применяли в § 5. Здесь мы проиллюстрируем его еще на одном примере.

Рассмотрим разностный метод решения задачи о колебании гибкой струны, закрепленной на концах рассмотренный в примере п. 1 данного параграфа. Разностная схема и сетка те же, что и в указанном примере. Для исследования устойчивости рассмотрим однородное разностное уравнение с однородными граничными.

условиями, кроме начальных, т. е. будем рассматривать схему

и применим к ее решению метод разделения переменных, положив

Так как коэффициенты уравнений не зависят от можно взять где X — пока неизвестная величина. Подставляя в разностное уравнение, получим:

или

Мы имеем линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Для в силу граничных условий имеем:

Будем искать решение этого уравнения в виде где а — искомая величина. Подстановка в уравнение после сокращения на дает

или

откуда

Общее решение уравнения имеет вид

где - произвольные постоянные. Из граничных условий имеем: т. е.

или, так как Отсюда

Система функций ортогональна и полна, т. е.

и любая функция определенная на множестве точек для которой представляется в виде линейной комбинации этих функций.

Для получим следующее равенство:

откуда

Следовательно,

Для устойчивости разностной схемы нужно потребовать, чтобы все были по модулю меньше или равны единице и среди них не должно быть кратных (рассуждения те же, что и в § 5, так как любое решение представляется в виде линейной комбинации решений вида которое соответствует корню характеристического уравнения X кратности Так как и при всех то это возможно лишь в том случае, если

т. е. при или

Итак, устойчивость будет иметь место, если при всех будет выполнено неравенство

или при .

Из теоремы сходимости устойчивой разностной схемы будет следовать, что в нашем случае при последовательность будет сходиться к точному решению граничной задачи для дифференциального уравнения.

Изложенные выше приемы исследования устойчивости разностных схем применимы в основном для разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами, как правило, очень сложная задача. Если уравнение с непрерывными коэффициентами рассматривается в конечной области, то на практике применяют следующий принцип:

Заменяем в уравнении все переменные коэффициенты постоянными, полагая их равными значениям переменных коэффициентов в какой-либо точке области. Если при любом выборе точки полученная разностная схема с постоянными коэффициентами будет устойчива, то устойчива и разностная схема с переменными коэффициентами.

В случае нелинейного дифференциального уравнения задача исследования устойчивости разностной схемы еще больше усложняется. В этом случае Исследуют устойчивость в окрестности искомого решения для линеаризованного уравнения.