5. Оценка погрешности и сходимость метода сеток.

Оценим погрешность, которая получается при решении задачи Дирихле для

уравнения (1) п. 1 методом сеток. При этом будем предполагать, что решение и(х, у) уравнения

удовлетворяющее на границе области О условию

имеет в области О ограниченные и непрерывные вплоть до границы производные до четвертого порядка включительно. Для этого коэффициенты уравнения функции должны иметь производные до определенного порядка, а граница должна быть достаточно гладкой. Кроме того, будем предполагать, что а. удовлетворяют требованиям п. 1 и в каждой точке области О выполнено неравенство

где полуоси эллипса с осями, параллельными координатным осям с центром в некоторой точке целиком содержащего внутри себя область О.

Пусть эта задача решается методом сеток с прямоугольной сеткой с шагами и I по оси х и у соответственно, при этом во внутренних узлах используется разностное уравнение (4), а значения решения в граничных узлах полагаются равными значениям граничной функции в соответствующих ближайших к ним точках. Таким образом, обозначая значения приближенного решения задачи через будем иметь для них систему уравнений

для внутренних узлов,

для граничных узлов, где

Будем предполагать настолько малыми, что положительны во всех узлах Мы видели что если функция имеет в О непрерывные и ограниченные производные до четвертого порядка включительно, то

где

Если граничный узел, ближайшая к нему точка границы из которой сносится значение то, используя формулу конечных приращений, получим:

или

Если ввести обозначение для погрешности, т. е.

то для граничных узлов будет иметь место неравенство

Рис. 37.

Вычитая из уравнения (6) соответствующее уравнение (4), для погрешности во внутренних узлах получим разностное уравнение

Решение системы (32) будем искать в виде

где

и

На основании свойства максимума достигает наибольшего значения на границе сеточной области; таким образом,

Для оценки докажем следующее утверждение: Если на сетке заданы две системы значений такие, что во всех внутренних узлах имеет место неравенство

а в граничных узлах то всюду в сеточной области О имеет место неравенство

В самом деле, неравенство эквивалентно двум неравенствам:

а неравенство на эквивалентно неравенствам

Но в силу принципа максимума и минимума (см. п. 4) в этом случае не могут достигать во внутренних узлах отрицательного минимума, а на они неотрицательны. Следовательно, во всех внутренних узлах, т. е.

всюду в

Рассмотрим теперь вспомогательную функцую

с неопределенным пока коэффициентом На основании равенства (6)

так как Отсюда

Выберем X так, чтобы во всех внутренних узлах имело место неравенство

Для этого достаточно положить

Тогда на основании доказанного утверждения имеет место неравенство

в каждом внутреннем узле, так как в граничных узлах, Таким образом,

В случае уравнения Пуассона и квадратной сетки оценка записывается значительно проще, так как

и если вместо эллипса взять круг радиуса то

Если для граничных узлов составляются уравнения по Коллатцу и сетка квадратная, то имеет место оценка

(см. Коллатц, гл. IV, стр. 281).

Из этих оценок следует, что если мы будем неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений, получаемых методом сеток, будет сходиться равномерно к точному решению задачи Дирихле.

Приведенные оценки имеют тот недостаток, что они содержат максимумы модулей производных от искомого решения. Они должны быть определены из дополнительных соображений или получены приближенно по найденным значениям решения в узлах заменой производных разностными отношениями.

На практике для оценки погрешности решения, полученного методом сеток, часто используют принцип Рунге, заключающийся в следующем.

Пусть известно, что порядок погрешности решения при использовании квадратной сетки с шагом есть т. е. в точке погрешность может быть приближенно представлена в виде

где от не зависит. Пусть решения краевой задачи, полученные методом сеток при шаге соответственно. Тогда, если есть точное решение, то

или

Далее, по условию

Следовательно, откуда

При решении задачи Дирихле для уравнения (1) методом сеток, когда в граничных узлах решение определяется из уравнений Коллатца, погрешность имеет относительно порядок Следовательно,

Пример. Найдем методом сеток решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате со стороной, равной единице, при следующих граничных условиях:

Возьмем квадратную сетку с шагом

Используя простейшую разностную схему, получим следующую систему уравнений для отыскания значений и в узлах сетки:

Решение этой системы в общем случае где целое найдем с помощью аналога метода Фурье. Будем искать частные решения этой системы вида

Это решение удовлетворяет граничным условиям

но не удовлетворяет граничным условиям при Функцию целочисленного аргумента I найдем из условия, чтобы были удовлетворены уравнения для внутренних узлов. Подстановка дает

или

Общее решение этого однородного разностного уравнения имеет вид

где и — корни характеристического уравнения

— произвольные постоянные. Таким образом,

Решение системы разностных уравнений, удовлетворяющее всем граничным условиям, будем искать в виде

где постоянные подберем так, чтобы были удовлетворены граничные условия при . В нашем случае из граничных условий имеем:

Функции образуют на множестве полную ортогональную систему функций, т. е. при . В нашем случае это дает

откуда

и

В нашем случае и Ниже приведена таблица значений для Значения при не приводятся, так как «у и точное решение симметричны относительно прямой (Значения даны в единицах четвертого десятичного знака.)

Если при той же сетке применить более точную разностную аппроксимацию оператора Лапласа

то получим следующую систему уравнений для

Точно так же, как и раньше, можно показать, что решение это», системы имеет вид

где — корни уравнения

Таблица значений этого решения приведена ниже:

Точное решение поставленной задачи Дирихле имеет вид

Таблица его значений в узлах сетки приведена ниже:

Приведем еще таблицу отклонений полученных приближенных решений задачи от значений точного решения во внутренних узлах сетки (в единицах четвертого десятичного знака):

Из этой таблицы видно, что уточненная схема дала значительно лучший результат. Если относительная погрешность результата, полученного в простейшей схеме, достигает 2,5%, то при уточненной схеме она не превосходит 0,3%.