5. Метод Галеркина решения краевых задач.
Метод Галеркина не является вариационным методом. Он не требует предварительного сведения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных к вариационной задаче и поэтому он в некотором смысле более универсален, чем метод Ритца. Основная идея этого метода была изложена в § 9 главы 9. Мы рассмотрим кратко его применение к решению краевых задач для уравнений в частных производных, ограничиваясь уравнениями вида
и граничными условиями вида (45), (46) или (47). При этом будем предполагать, что 
непрерывные функции в рассматриваемой области О, включая границу 
непрерывно дифференцируема и 
В методе Галеркина приближенное решение краевой задачи для уравнения (98) с граничными условиями вида (45), (46) или (47) ищется в виде
где 
первые 
функций последовательности 
обладающие следующими свойствами:
1) функции 
дважды - непрерывно дифференцируемы в 
2) любое конечное число их линейно независимо;
3) для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции 
удовлетворяющей граничным условиям, и любого 
найдется такая линейная комбинация этих функций 
что
Коэффициенты 
определяются как решение системы
или
где
В случае, если 
и 0, то при одной и той же системе координатных функций 
метод Ритца и метод, Галеркина дают одну и ту же последовательность 
а это доказывает, что она, как и в методе Ритца, в среднем сходится к точному решению краевой задачи.
Для уравнения (98) с краевыми условиями одного из видов (45), (46) или (47) при условиях на коэффициенты, которые сформулированы выше, и при выборе последовательности координатных функций, удовлетворяющей условиям 1) — 3), последовательности 
полученные по методу Галеркина, сходятся в среднем вместе с производными первого порядка к точному решению краевой задачи и соответствующим производным этого решения, если только граница 
кусочно-гладкая и в случае краевых условий 
а в случае краевых условий (46) о — достаточно гладкая на 
функция.
Метод Галеркина применим и к задаче о собственных значениях для дифференциального оператора 
при тех же типах краевых условий, но мало надежен для отыскания приближенных выражений для собственных функций.
Обоснование сходимости метода Галеркина мы не приводим, так как это заняло бы много места. Интересующихся отсылаем к книге Михлина С. 
«Прямые методы в математической физике», где эти вопросы рассмотрены достаточно подробно.
