ГЛАВА 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Введение

Обыкновенные дифференциальные уравнения встречаются довольно часто в различных прикладных вопросах. При этом во многих случаях имеют дело с уравнениями, общее решение которых не выражается в квадратурах. Поэтому возникает необходимость применять те или иные методы, дающие приближенное решение задачи. С некоторыми из таких методов встречаются уже при изучении общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, например, в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений изучается вопрос о возможности представления решения уравнения в виде ряда

или же более общего ряда

где некоторое число, не обязательно целое и положительное. Если решение можно представить в виде (1) или (2) и если удается фактически найти достаточно большое количество коэффициентов так, что абсолютная величина суммы остальных членов, т. е.

или соответственно

меньше, чем заданная нам допустимая погрешность, то соответствующий отрезок ряда может служить приближенным представлением искомого решения. Таким же образом можно использовать тригонометрические ряды или ряды по другим ортогональным функциям.

При доказательстве существования решения дифференциального уравнения

с начальным условием (или же системы таких уравнений) часто используют метод последовательных приближений Пикара. При этом точное решение получается как предел последовательности

где

Процесс последовательных приближений Пикара сходится при выполнении таких условий:

1. Функция непрерывна в области

2. Функция удовлетворяет в условию Липшица по у;

Здесь постоянная, не зависящая от х, у и у, а точки и произвольные точки области

При выполнении этих условий равномерно сходится к функции на где и функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (4) и начальному условию.

Если метод последовательных приближений сходится и может быть фактически осуществлен для достаточно больших так что не превышает заданной нам допустимой погрешности, то мы можем принять за приближенное решение задачи.

Мы не будем здесь подробно останавливаться на этих методах, достаточно хорошо изложенных в общих курсах.

Методы, которые мы будем изучать, можно разделить на две большие группы. Одни из них дают приближенное решение в виде аналитического выражения, другие — в виде таблицы. Будем называть первую группу методов аналитическими, вторую — численными.

Мы начнем изложение с аналитического метода, предложенного академиком Сергеем Алексеевичем Чаплыгиным.