2. Примеры интерполяционных формул.

Рассмотрим теперь примеры интерполяционных формул. Возьмем в качестве интерполяционного многочлена опять формулу Ньютона для

интерполирования назад, но за начальную точку примем не

При интегрирование по придется проводить по отрезку . Получим:

В этом случае

(см. скан)

Мы получили интерполяционную формулу Адамса:

Эта формула может быть использована для контроля вычислений, произведенных по экстраполяционной формуле. Ее можно использовать и для уточнения приближенных значений для полученных другими способами. При этом можно пользоваться той же схемой, что и для экстраполяционной формулы Адамса. По приближенному значению находим а Затем используем интерполяционную формулу Адамса и уточняем значение Исправляем Снова по интерполяционной формуле Адамса уточняем и затем Это продолжаем до тех пор, пока исправляемые величины не будут изменяться при той точности, с которой производятся вычисления. Первое приближение для Дуда можно получить также путем экстраполяции высшей разности на один шаг и последующего вычисления разностей низшего порядка. Можно также предварительно представить в виде линейной комбинации а уж затем производить последовательные приближения. При этом если ограничиться первым членом формулы, то получим:

Если взять два члена, то будем иметь:

При трех членах получим:

при четырех

при пяти

Рассмотрим еще один случай. Пусть а в качестве к возьмем интерполяционную формулу Стирлинга:

В результате интегрирования получим:

При этом

Таким образом, наша формула примет вид

Если выразить здесь разности через у то получим, принимая во внимание разности первого, второго и третьего порядка:

Последняя формула содержит и вряд ли будет полезна на лрактнке.

При желании набор формул можно было бы значительно увеличить. Можно получать новые формулы беря линейные комбинации формул, полученных для различных и различных Все эти формулы можно записать в виде

где — постоянные, не зависящие ни от Характерным для полученных ранее формул было то, что давали точное значение для если является алгебраическим многочленом степени не выше некоторого