2. Разностное уравнение для погрешности приближенного решения.

Перейдем теперь к вопросу об оценке погрешности разностных способов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ограничимся случаем одного уравнения первого порядка

Будем предполагать, что обладает непрерывными производными до некоторого порядка в области

где решение (12), удовлетворяющее начальному условию таково, что приближенное решение, выходящее за пределы области становится неинтересным. При этом будет обладать в непрерывными производными до порядка Численное решение (12) будем отыскивать по формуле

предполагая, что начальные значения нам заданы.

Прежде чем переходить к основным вопросам этого параграфа, наложим некоторые ограничения на коэффициенты формулы (14). При этом будет удобно ввести в рассмотрение многочлены

и оператор определенный при помощи равенства

Тогда (14) можно записать в виде

Естественно считать, что все коэффициенты и действительны и что Предположим, далее, что не имеют общих множителей. Это связано со следующими соображениями. Если бы нашелся такой многочлен что

где и -многочлены, то (17) можно было бы записать в виде

Если обозначить

то (19) перейдет в

Начальных условий будет достаточно для того, чтобы найти сначала решение (21), а затем (20). Так как разностное уравнение (21) линейно и имеет постоянные коэффициенты, то находятся без труда. Но тогда будут находиться из уравнения (20), имеющего порядок ниже, чем уравнение (17).

Нас будут интересовать только такие формулы (14), которые обеспечивают равномерную сходимость приближенного решения к точному при (Предполагается, конечно, что начальные значения задаются точно и все вычисления производятся точно.) Поэтому потребуем, чтобы для любого существовало такое что как только то

Здесь Вследствие (22) имеем: к к

где Таким образом, по (14)

Так как, вообще говоря, то или

Это третье ограничение на (14). Положим

При этом (14) перейдет в

Суммируя равенства (26) по от до получим:

Переходя в (27) к пределу при получим:

Так как должно удовлетворять уравнению» (12), а в силу второго предположения, то

Это четвертое ограничение на (14), Равенства (24) и (29) необходимы для равномерной сходимости точного решения разностного уравнения к точному решению дифференциального.

Будем теперь под понимать значение точного решения дифференциального уравнения (12), удовлетворяющего начальному условию в точке и под -значение Эти величины не будут удовлетворять уравнению (14), но будут удовлетворять некоторому другому разностному уравнению

где можно выразить по формуле (42) § 5 и в некоторых случаях можно оценить.

Обозначим через численное решение, фактически полученное по формуле (14), и через -разность

Так как формула (14) применима лишь в том случае, если заданы первые значений то будем предполагать, что известны оценки для первых значений Задача заключается в том, чтобы получить оценки для всех

При численном решении мы получим удовлетворяющие не уравнению (14), а некоторому другому уравнению:

Здесь некоторая величина, появление которой вызывается следующими причинами:

1. Как правило, мы можем находить не точные значения а лишь приближенные

2. Вычисления по формуле (14) ведутся с округлениями.

3. Если (14) — интерполяционная формула, то уравнение для определения может быть решено только приближенно.

Таким образом, определяется ошибками, возникающими на данном шаге при вычислении по формуле (14) без учета ошибок начальных значений и ошибки метода. Величину иногда также удается оценить.

Вычитая (30) из (32), получим:

Применив формулу Лагранжа

и обозначив мы можем переписать (33) в виде

Отсюда мы можем получить последовательно оценки для всех если известны оценки для