3. Второй способ построения улучшенных приближений.

Улучшенные приближения и можно находить по способу Чаплыгина только в том случае, когда сохраняет свой знак в рассматриваемой области. Дадим еще один способ получения улучшенных приближений, свободный от этого недостатка.

Теорема 2. Пусть функции и определены как и в теореме 1. Тогда если положить

то функция

где константа Липшица для функции является верхней функцией на отрезке и на этом отрезке имеет место неравенство

Очевидно, Далее,

Следовательно, что и требовалось доказать.

Совершенно аналогично доказывается, что если и является нижней функцией и мы образуем

то

также будет нижней функцией и будет удовлетворять неравенствам и

И в этом случае мы можем, по крайней мере теоретически, неограниченно продолжать процесс получения последовательных приближений. В связи с этим докажем следующую теорему:

Теорема 3. Пусть определены, как и в теореме 1. Положим

и образуем последовательности

Тогда последовательность равномерно на сходится к

Прежде всего отметим, что все функции определены в каждой точке отрезка так как они заключены между и не могут выйти за пределы рассматриваемой, области до пересечения с прямой Далее, рассмотрим ряд

Если подставить сюда вместо разностей их выражения из (55), то получим:

Отсюда следует, что ряд (57) равномерно сходится, если равномерно сходится ряд

Дифференцируя (55), получим:

Отсюда находим, подставляя вместо перед интегралом его выражение через

Таким образом,

В силу условия Липшица получим:

Определим теперь последовательность при помощи рекуррентного соотношения

причем в качестве возьмем Очевидно, что Произведем оценку Для этого выразим все через Подставляя в выражение через и меняя порядок интегрирования, получим:

Аналогично для будем иметь:

Покажем по индукции, что

Действительно,

что и требовалось доказать.

Обозначим через верхнюю границу на Тогда

Отсюда следует абсолютная и равномерная сходимость ряда Поэтому ряд также абсолютно и равномерно сходится и, следовательно, стремится равномерно к некоторой непрерывной функции Покажем, что будет являться решением дифференциального уравнения

Для этот рассмотрим

Так как равномерно стремится к к нулю, то равномерно стремится к нулю. Интегрируя (56) и используя равенства можно (71) записать в виде

Отсюда

что и требовалось доказать.

Так как при любом то и Тем самым теорема доказана полностью. В силу теоремы единственности решения дифференциального уравнения