3. Метод Чебышева построения итераций высших порядков.

В 1838 г. П. Л. Чебышев предложил метод отыскания действительных корней уравнения частными случаями которого явились многие, разработанные до него методы. В основе метода Чебышева лежит представление функции, обратной к функции по формуле Тейлора.

Пусть уравнение на отрезке имеет корень Относительно функции предположим, что она непрерывна на отрезке вместе с производными достаточно высокого порядка и на При этих предположениях функция имеет обратную функцию определенную на отрезке являющемся областью значений при Функция имеет столько же непрерывных производных, сколько имеет и Так как

то

При формула Тейлора дает

где остаточный член может быть записан в виде

заключено между и или

Для упрощения записи положим

Уравнение

имеет корень так как

Положив

получим итерационный метод порядка, так как

Если взято достаточно близко к а, то последовательность сходится к а, ибо существует такая окрестность точки а, в которой

и для сходимости нужно только потребовать, чтобы принадлежала этой окрестности.

Функцию можно найти в явном виде через и ее производные, так как из тождества (27) имеем:

или

т. е. можно последовательно найти следовательно,

т. е. мы снова получаем метод Ньютона. При

Оценка погрешности и скорость сходимости легко получаются из равенства (31). Полагая в нем и учитывая (34), получим:

где I лежит между Если положить

и учесть, что

то из (38) имеем:

Отсюда следует, что

Таким образом, если то

что указывает на очень быструю сходимость метода. Так, если то при Ньютона)

при

т. е. количество верных десятичных знаков быстро возрастает.