2. Отыскание собственных векторов матрицы.

Рассмотрим теперь вопрос об отыскании собственных векторов. Пусть является корнем минимального многочлена, соответствующего вектору Если степень этого минимального многочлена равна то будем разыскивать собственный вектор в виде

Из

следует:

или в силу (42)

Итак,

Векторы линейно независимы. Поэтому из (67) следует:

Отсюда получаем:

Мы не выписали повторно первое из равенств (68), так как оно является следствием остальных и условия

Коэффициент должен быть отличным от нуля, так как в противном случае все остальные коэффициенты были бы равны нулю, что невозможно, ибо является собственным вектором. Задаваясь каким-либо значением (например, 1), мы при помощи равенств (69) последовательно найдем все остальные а следовательно, и вектор Так, для матрицы (44) мы получим, если положим

и

Нетрудно проверить, что это действительно собственный вектор матрицы (44), соответствующий собственному значению

Если выбрать другое значение то новый собственный вектор будет отличаться от предыдущего лишь постоянным множителем. Таким образом, если степень минимального многочлена вектора равна и произвольный корень этого минимального многочлена, то в линейном множестве, порожденном векторами найдется единственный, с точностью до множителя, собственный вектор соответствующий собственному значению Для того чтобы найти другие собственные векторы, соответствующие собственному значению если такие существуют, и собственные векторы, соответствующие собственным значениям не являющимся корнями минимального многочлена вектора следует выбрать новый начальный вектор не являющийся линейной комбинацией векторов и повторить с ним тот же процесс, который мы проделали с вектором Иногда придется повторить это несколько раз.