Далее, если
— некоторая неособенная постоянная матрица и
то
Рассмотрим степенной ряд
Ему можно поставить в соответствие матричный ряд
Этот ряд будет называться сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм
Найдем условия сходимости такого ряда. Имеет место теорема:
Для того чтобы степенной матричный ряд (60) сходился, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения
матрицы А лежали внутри круга сходимости степенного ряда (59).
Доказательство. Приведем матрицу
к нормальной форме Жордана при помощи некоторой неособенной матрицы
Тогда
Для того чтобы
имела предел, необходимо и достаточно, чтобы
имело предел. Предел
будет существовать тогда и только тогда, когда существуют все
где
«ящики» матрицы В. Пусть
соответствует элементарному делителю
Тогда
а
По индукции нетрудно доказать, что при
Отсюда
Для того чтобы
была сходящейся последовательностью, необходимо и достаточно, чтобы
были сходящимися последовательностями. Последнее будет выполнено в том и только в том случае, если
лежат внутри круга сходимости ряда
Возьмем, в частности, ряд
Его радиус сходимости равен 1, и ряд расходится в каждой точке границы круга сходимости. Следовательно, имеет место теорема. Для того чтобы сходился матричный ряд
необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы А были по модулю меньше единицы.
Сделаем еще одно небольшое замечание. Пусть X — произвольное собственное значение матрицы
Тогда имеется ненулевой вектор х такой, что
Следовательно,
Но
Поэтому получаем
т. е. любая норма матрицы больше или равна модулю произвольного собственного значения матрицы, т. е.