§ 5. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Большим недостатком метода Руиге — Кутта является то, что для получения одного нового значения решения дифференциального уравнения приходится подсчитывать правую часть уравнения в нескольких точках. Если правая часть сложна, это связано с большой вычислительной работой. Сейчас мы перейдем к разностным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, применение которых требует только однократного вычисления правой части на каждом шаге. Ограничимся пока случаем одного уравнения первого порядка. Пусть требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию Предположим, что нам удалось каким-то образом найти приближенные значения в точках . Обозначим По можно

построить то или иное приближенное представление в виде функции, которая легко интегрируется. Пусть это будет Тогда можно приближенно считать

Таким образом, мы продвинем таблицу значений на один шаг. Затем можно снова применить такой же прием и продвинуться еще на один шаг и т. д.

Для того чтобы было возможно начать этот процесс, нам необходимо знать, кроме начального значения значения в точках Их можно отыскивать либо методом Рунге — Кутта, либо одним из тех аналитических методов, о которых говорилось выше. Сами разностные методы дают итерационные способы для отыскания Как это делается, мы укажем несколько позже.

Наиболее простой способ приближенного представления дает интерполяция алгебраическими многочленами. Только его мы и будем рассматривать. Обозначим через к алгебраический интерполяционный многочлен, принимающий в точках соответственно значения При этом

где не зависят от Введем новое временное положив Тогда перейдут в многочлены степени к, не зависящие ни от шага ни от Таким образом,

где

— постоянные, не зависящие ни от ни от ни от

Беря различные значения и различные формы интерполяционного многочлена, получим различные разностные формулы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Эти формулы носят название жстраполяционных в связи с тем, что они

получены путем интегрирования интерполяционного многочлена, проэкстраполированного на отрезок

При построении интерполяционного многочлена можно использовать, кроме еще неизвестное нам значение

Повторяя предыдущие рассуждения, мы придем к формуле

при этом и в правую и в левую части входит неизвестное значение Поэтому для отыскания у нужно решить алгебраическое или трансцендентное уравнение. Чаще всего это уравнение решают методом последовательных приближений. Для сходимости его придется потребовать выполнения условия где в рассматриваемой области. Формулы типа (6) называются интерполяционными. Из второй главы известно, что точность экстраполирования обычно бывает меньше точности интерполирования. Поэтому следует ожидать, что формулы типа (6) будут давать лучшую точность, чем формулы типа (4). В справедливости этого утверждения мы убедимся при исследовании остаточных членов.