§ 4. Метод Данилевского

Довольно простой и изящный способ получения характеристического многочлена дал А. М. Данилевский. Суть его метода состоит в преобразовании уравнения

к виду

При этом определитель (2) легко раскрывается, и мы получим:

Проиллюстрируем ход вычислений по методу Данилевского на примере матрицы четвертого порядка

Эта матрица должна быть преобразована к виду

(нормальная форма Фробениуса) преобразованиями подобия.

Делим все элементы третьего столбца на Если то предварительно находим среди элементов отличный от нуля. Пусть это оказался Тогда меняем местами вторую и третью строки и второй и третий столбцы. Если то характеристический многочлен матрицы (4) примет вид

и наша задача сведется к отысканию характеристического многочлена матрицы третьего порядка.

Вычтем теперь из столбца полученной матрицы

третий столбец, умноженный на При этом матрица примет вид

Наш процесс эквивалентен умножению матрицы (4) справа на матрицу

Чтобы получить матрицу, подобную исходной, мы должны умножить (8) слева на матрицу равную

При этом получим:

Умножение на не изменяет первой, второй и четвертой строк. Третья же строка получается путем сложения строк (8), умноженных соответственно на

На следующем этапе преобразуем третью строку. Это достигается путем умножения матрицы (10) справа на матрицу

и последующего умножения слева на матрицу равную

Ход вычислений подобен предыдущему. Матрица А будет приведена к виду

Наконец, умножая (14) справа на

и слева на

мы придем к нормальной форме Фробениуса.

Приведем числовой пример. Возьмем уже использованную в главе 6 матрицу А:

0,2141 0,3114 0,2613 0,6343 0,8998 4,1313, Вычисления сведены в следующую таблицу:

(см. скан)

(см. скан)

Теперь поясним схему. В первом столбце помещена нумерация строк. Столбцы, обозначенные цифрами 1—6, предназначены для элементов исходной матрицы А, матриц В, и Впромежуточных матриц и окончательной матрицы, получающихся в процессе вычислений по методу Данилевского. Последние два столбца — контрольные.

Первые шесть строк в столбцах 1—6 использованы для элементов исходной матрицы А. В столбце стоят суммы элементов А по строкам.

Строки 7 и 8 предназначены для элементов Ввиду особенностей строения этих матриц, достаточно записать только их пятые строки. В столбцах 1—6 седьмой строки записаны элементы пятой строки которые просто равны элементам шестой строки матрицы А. В столбцах 1—6 восьмой строки помещены элементы пятой строки матрицы равные соответственно Элемент на который производится деление, в схеме подчеркнут. В столбце восьмой строки стоит результат деления стоящего в шестой строке, на с обратным знаком. Поэтому он должен равняться сумме остальных элементов этой строки, если заменить на —1 (в схеме —1 показана в скобках).

Следующим этапом будет умножение А на Соответствующие элементы помещены в строках 9—14 и столбцах 1—6. При этом в столбце 5 будут помещаться результаты деления элементов на или, что то же самое, результаты умножения на Остальные элементы вычисляются по формулам

После этого шестая строка примет нужный нам вид. В столбце как и всегда, помещаем суммы элементов строк, а в столбце результаты вычислений со столбцом строк 1—6 по формулам, аналогичным (18). Контроль будет заключаться в том, что сумма столбца и столбца 5 должна давать столбец

После этого производим умножение на При этом изменяется только пятая строка определителя т. е. строка 13 нашей схемы. Пятая строка определителя равна сумме произведений строк на соответствующие элементы пятой строки Для удобства элементы на которые умножаются строки выписаны во втором столбце схемы против соответствующих им строк. Результат вычислений помещен в строке 15. Эта строка будет одновременно являться четвертой строкой матрицы

Дальнейшие вычисления происходят аналогично. Роль теперь играет элемент строки 15 и столбца 4. Четвертая строка

помещается в строке 16 схемы. Матрица помещается в строках 17—23 и т. д.

В данном случае искомый характеристический многочлен будет иметь вид

Интересно отметить, что след матрицы А, который должен равняться коэффициенту при с обратным знаком, в нашем случае равен 40,3641. Совпадение полное.

Приведенная нами схема не является лучшей. Однако она довольно удобна и проста для объяснений. Она применима для матриц, любого порядка.

Произведем подсчет числа операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка по приведенной выше схеме, учитывая применение контроля.

Получение потребует операций деления. Вычисление столбца потребует умножений. Получение остальной части (с включением контрольного столбца) потребует умножений. Наконец, умножение на потребует умножений. На следующем шаге, при переходе от и нам потребуется соответственно делений, умножений, умножений и умножений. Так же производится подсчет и дальше. Таким образом, всего будет нужно

операций умножения и деления.