§ 6. Метод разбиения на клетки

Обращение матрицы высокого порядка часто удается свести к обращению матриц низшего порядка, являющихся частью основной матрицы. Будем называть такие методы обращения матриц методами разбиения на клетки.

Пусть нам дана квадратная неособенная матрица А. Разобьем ее пунктирными линиями на частичные матрицы:

Это можно сокращенно записать так:

Здесь сами являются матрицами. Нижние индексы показывают место частичной матрицы в полной матрице, так же как индексы элемента показывают его положение в матрице. Верхние индексы показывают соответственно число строк и число столбцов частичной матрицы. Если такое разбиение осуществлено, то будем говорить, что матрица разбита на клетки или блоки. Если имеется вторая матрица В с таким же разбиением

то

где

Далее, если имеем матрицу

то

где

Обращаем внимание на то, что разбиение на клетки матрицы должно быть согласовано с разбиением на клетки матрицы А для того, чтобы было возможно осуществить умножение клеток. В частности, если взять т. е. если

то клеточное умножение матриц возможно и произведение будет разбито на такие же клетки, что и каждый из сомножителей.

Нетрудно сообразить, как будут выглядеть правила действий с клеточными матрицами, если осуществлять разбиение на большее число клеток, и в том случае, если мы имеем дело с прямоугольными матрицами.

Пусть теперь матрица в (9) равна Тогда мы должны иметь и

Здесь через обозначены единичные матрицы соответствующих порядков, а через — матрицы, состоящие из сплошных нулей.

Таким образом, мы сумеем найти если подберем матрицы чтобы были выполнены равенства (10). Непосредственной проверкой убеждаемся, что матрицы можно последовательно находить из равенств:

Следовательно, для того чтобы обратить, матрицу порядка нам придется обратить две матрицы, одна из которых имеет порядок а другая порядок

Чаще всего берут равным Тогда придется обращать всего лишь одну матрицу порядка Для ее обращения можно применять тот же прием. Это в свою очередь потребует обращения матрицы порядка Продолжая этот процесс дальше, мы в конце концов придем к матрице первого порядка. Таким образом, последовательно обращая матрицы

мы придем к

Можно дать другой подход к рассмотренному методу. Представляем матрицу в виде

Изложенный метод показывает, как, зная обратную матрицу для первого слагаемого правой части, получить обратную матрицу для суммы всех слагаемых правой части. Идя по такому пути, можно поставить следующую задачу. Матрица представлена в виде

где В — некоторая квадратная матрица, для которой известна —матрица, состоящая из одного столбца и строк, и -матрица, состоящая из одной строки и столбцов. Требуется найти

Решение поставленной задачи дает матрица

Действительно,

Используя формулу (15), можно получать обратные матрицы в широком классе случаев. Так, например, возьмем

Обратная матрица при этом находится без труда. За матрицы примем

Тогда формула (15) даст нам обратную матрицу для

Затем таким же образом можно исправить второй столбец, третий и т. д., пока не придем к матрице А. Формулу (15) можно обобщить, взяв вместо матрицы имеющие соответственно несколько столбцов и несколько строк.