3. Обращение матрицы.

Равенство (24) можно использовать для обращения матриц. Эта задача важна как сама по себе, так и в тех случаях, когда приходится решать много систем с одной и той же матрицей, но с различными правыми частями. Перепишем (24) следующим образом:

Матрица будет верхней треугольной, и ее диагональные элементы равны единице. Поэтому если обозначить элементы матрицы через то первое из равенств (25) даст уравнений для определения

Так как матрица нижняя треугольная, то второе из равенств (25) даст еще уравнений для отыскания

Таким образом, мы получили уравнений для определения неизвестных элементов обратной матрицы А. Решение системы (26) — (27) не представляет труда. Полагаем в каждом из уравнений и находим последовательно

Затем из уравнений (27) при находим

Потом снова возвращаемся к уравнениям (26) и, полагая в них находим После этого из уравнений (27) при находим Так, переходя поочередно от системы (26) к (27) и наоборот, мы в конце концов найдем все Вычислительная схема остается прежней, только вместо одной строки для неизвестных нас будет строк для матрицы

Если воспользоваться результатами, полученными при решении примера (1) по компактной схеме Гаусса, то без труда найдем, что матрица, обратная к матрице данной системы, будет такова:

Интересно заметить, что при этом оказывается

Точность вполне удовлетворительна. Если бы точность нас не удовлетворила, то для уточнения можно было бы применить какой-либо метод последовательного приближения, о чем будем говорить позже.