§ 9. Вариационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики

Среди приближенных методов решения уравнений в частных производных значительное место занимают вариационные методы. В некоторых областях механики эти методы являются самыми распространенными. В § 10 главы 9 мы уже рассматривали вариационные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь мы рассмотрим применение этих методов к решению краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных

производных второго порядка эллиптического типа. Как уже говорилось, в основе вариационных методов лежит замена краевой задачи для дифференциального уравнения эквивалентной ей вариационной задачей. Приближенное решение краевой задачи сводится к построению приближенного решения соответствующей ей вариационной задачи. Более подробно мы остановимся на методе Ритца приближенного решения вариационных задач, соответствующих тем или иным краевым задачам, поэтому, чтобы не обосновывать сходимость этого метода в каждом конкретном случае, мы изложим этот метод в общем виде, а в конкретных случаях будем лишь проверять выполнение условий, при которых этот метод применим.

1. Метод Ритца решения операторных уравнений и отыскания собственных значений операторов в гильбертовом пространстве.

Пусть на линейном множестве всюду плотном в гильбертовом пространстве определен аддитивный оператор некоторый элемент из Н. В Н требуется найти элемент, являющийся решением уравнения

В § 10 главы 9 было показано, что если оператор А положителен, то уравнение (1) имеет не более одного решения, и если решение уравнения (1) существует, то функционал

определенный на достигает на этом элементе наименьшего значения, т. е. если обозначить через z решение уравнения (1), то

и наоборот, элемент, реализующий минимум функционала на является решением уравнения (1).

В дальнейшем мы всегда будем предполагать существование решения уравнения (1) и будем лишь рассматривать способы приближенного построения этого решения.

Для построения приближенного решения уравнения (1) в предположении, что А — положительный оператор, строят последовательность обладающую тем свойством, что

Последовательности, для которых имеет место условие (4), называют минимизирующими. Если минимизирующая последовательность окажется сходящейся к элементу то этот элемент будет являться решением задачи о минимуме функционала в а следовательно и решением уравнения (1). За приближенное решение уравнения (1) принимают некоторый член этой последовательности.

Как уже отмечалось ранее, не каждая минимизирующая последовательность является сходящейся. Для того чтобы каждая минимизирующая последовательность сходилась к решению z уравнения (1), нужно наложить на оператор А дополнительные ограничения. Таким требованием будет положительная определенность оператора А.

Оператор А называют положительно определенным, если существует такая положительная постоянная что для любого элемента На имеет место неравенство

Заметим, что положительно определенный оператор является и положительным оператором.

Теорема. Если А положительно определенный оператор, то любая минимизирующая последовательность функционала (2) сходится к решению z вариационной задачи, т. е.

В самом деле, если z-решение вариационной задачи, то и

Далее,

Так как что и доказывает наше утверждение,

Таким образом, если А — положительно определенный оператор, то за приближенное решение уравнения (1) можно принять элемент любой минимизирующей последовательности при достаточно большом

Один из способов построения минимизирующей последовательности предложил Ритц. Метод Ритца заключается в следующем. В На выбирается последовательность элементов обладающая следующими свойствами:

1) любое конечное число членов этой последовательности линейно независимо;

2) для любого и любого элемента На найдется такое и такие числа что имеет место неравенство

При фиксированном целом строится линейная комбинация

с произвольными численными коэффициентами (будем предполагать, что действительное гильбертово пространство и — действительные числа). Функционал будет функцией

Постоянные а выбираются так, чтобы принимал наименьшее значение на совокупности всевозможных линейных комбинаций (8). Для этих значений

т. е.

Таким образом, для отыскания получается симметричная система линейных алгебраических уравнений. Определитель этой системы отличен от нуля, так как если на ввести скалярное произведение

что возможно, так как А — симметричный и положительно определенный оператор, то определитель системы есть определитель Грама системы линейно независимых элементов Поэтому система (11) имеет единственное решение. Обозначим через линейную комбинацию вида (8), где в качестве коэффициентов взято решение системы (11). Последовательность будет являться, минимизирующей последовательностью. В самом деле, пусть задано Так как то найдется элемент для которого

В силу свойства 2) последовательности найдутся такое целое число и такие числа что при заданном имеет место неравенство Но

(Здесь [ ] означает скалярное произведение, определенное равенством (12).) Применяя неравенство Буняковского, будем иметь:

Отсюда

Так как фиксированные числа, то можно выбрать так, что будет иметь место неравенство

Из (13) и (14) следует, что но тогда заведомо и при всех имеем а это и означает, что

т. е. минимизирующая последовательность.

Заметим, что если вместо системы элементов которые мы будем называть координатными, взять новую последовательность координатных элементов связанную с соотношениями

то минимизирующие последовательности, построенные по методу Ритца, использующие дадут один и тот же результат. Процессом ортогонализации можно построить такую последовательность что будет выражаться через с помощью равенств (15), а

В этом случае система, аналогичная системе (11), примет вид

и

Заметим также, что вместо свойства 2) системы координатных функций достаточно требовать полноту системы в т. е. потребовать от чтобы при любом существовали такие что

так как из этого свойства следует свойство 2). В самом деле, пусть заданное число, Тогда по свойству можно найти такое и такие что

Далее, используя неравенство (5), имеем:

Отсюда, сокращая на и возводя обе части в квадрат, получим:

т. е. получим неравенство (7).

Если имеется способ отыскания чисел 8, меньших но сколь угодно близких к то можно получить оценку точности приближения к решению z уравнения (1). Для этого воспользуемся уже ранее использованным неравенством

из которого следует, что

что и позволяет оценить точность приближения через

Рассмотрим теперь задачу отыскания собственных значений оператора А, т. е. таких значений X, для которых уравнение

имеет нетривиальные решения. Последние называются собственными элементами оператора А, соответствующими собственному значению

На оператор А наложим следующие ограничения. Будем предполагать, что оператор А симметричен и ограничен снизу.

Оператор А называют ограниченным снизу, если существует такое число что для любого имеет место неравенство

Теорема. Для симметричного оператора А все собственные значения действительны, а собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Действительно, если собственное значение оператора соответствующий ему собственный элемент, то

Умножая обе части скалярно справа на получим:

откуда

а так как числитель и знаменатель — действительные числа, то действительное число. Пусть теперь - различные собственные значения оператора соответствующие им собственные элементы. Тогда

Умножим первое из них скалярно справа на а второе скалярно слева на и вычтем почленно. Получим:

В силу симметричности оператора А имеем т. е.

Задача отыскания собственных значений оператора может быть сведена к вариационной задаче.

Теорема. Если А — ограниченный снизу симметричный оператор, а нижняя грань значений функционала

а элемент, для которого то есть наименьшее собственное значение оператора соответствующий ему собственный элемент.

В самом деле, пусть произвольный элемент из произвольное действительное число. Обозначим через функцию

По условию она достигает минимума при но

Отсюда

а так как то

Заменяя на иолучим:

т. е.

Но произвольный элемент из а всюду плотно в Н, т. е.

и утверждение будет доказано, если мы покажем, что — наименьшее собственное значение. Пусть X — любое другое собственное значение оператора его собственный элемент. Тогда

Отсюда

Это заканчивает доказательство утверждения.

Отыскание следующих по величине собственных значений оператора А тоже может быть сведено к вариационной задаче. Это следует из теоремы:

Если первые собственных значений симметричного ограниченного снизу оператора соответствующие им ортонормированные собственные элементы, и элемент, реализующий минимум функционала (25) на множестве элементов удовлетворяющих дополнительным условиям

то собственный элемент оператора А, соответствующий собственному значению где

Для доказательства возьмем произвольный элемент и положим Тогда так как

ибо Этим свойством обладает и элемент где любое действительное число, а также и Функция

достигает минимума при Но это означает, что Из этого условия, так же как и раньше, доказывается, что

Докажем, что и Действительно,

Но

в силу симметричности оператора А и ортогональности ко всем Таким образом, для любого имеем а поэтому

Если X — любое собственное значение, следующее по величине за его собственный элемент, то z ортогонален всем

что полностью доказывает утверждение.

Вариационная задача, соответствующая задаче отыскания ге-го собственного значения оператора А, может быть сформулирована и следующим образом:

Среда всех элементов удовлетворяющих условиям

где собственные элементы, соответствующие собственным значениям найти минимум функционала Минимум этого функционала и будет а элемент, его реализующий, будет собственным элементом, соответствующим

Метод Ритца приближенного решения этих задач (предполагая существование их решений) заключается в следующем.

Рассматривается последовательность координатных элементов обладающая такими свойствами:

1) любое конечное число их: линейно независимо;

2) для каждого элемента На и любого существуют такие целые числа и совокупности действительных чисел что

(Предполагается, что действительное гильбертово пространство и скалярное произведение элементов — действительное число.) Положим

и выберем так, чтобы обеспечивало минимум функционала

при условии, что

Решение этой задачи выполняем по правилу неопределенных множителей Лагранжа, т. е. составляем вспомогательную функцию

и ищем безусловный минимум этой функции. Отсюда

или

Определитель этой системы обязан быть равным нулю, так как все не могут быть равны нулю одновременно. Таким образом, для отыскания X имеем уравнение степени

Если корень этого уравнения, то и система (34) имеет нетривиальное решение при Пусть оно При любом действительном система чисел будет также решением системы (34). Выберем так, чтобы выполнялось условие и через обозначим при данном значении Тогда будем иметь тождества

Умножим (36) на и просуммируем по от 1 до Получим:

Но

Таким образом,

Это показывает, что все корни уравнения (35) действительны и один из них дает минимум функционалу на множестве Этот минимум, очевидно, равен наименьшему по величине корню уравнения (35), который мы обозначим через

С возрастанием не возрастает и в то же время остается не меньше Таким образом,

Докажем, что

Рассмотрим сйачала случай В этом случае оператор А положительно определенный, так как для любого имеем По определению нижней грани для любого найдется такой элемент и что Из свойства 2) последовательности следует, что найдется такой элемент что

Отсюда, обозначая

имеем:

или

Но Отсюда или Таким образом,

где вместе с Так как При имеем следовательно,

Если то введем вспомогательный оператор

Это положительно определенный оператор, так как

Далее,

Если

Отсюда по ранее доказанному

т. е.

Для отыскания следующего по величине собственного значения ищем минимум функционала при условиях

где приближенное значение первой нормированной собственной функции. Для этого составляем вспомогательную функцию

и приравниваем нулю ее частные производные по Это приводит к системе

Если обе части равенства (43) умножить на и просуммировать по I от 1 до то получим:

или

Но из системы (36)

откуда

Так как то и система (43) совпадает с системой (36). Отсюда, как и прежде, заключаем, что искомый минимум равен второму по величине корню уравнения

Аналогично ищутся и следующие собственные значения оператора А. Они приближенно равны следующим по величине корням уравнения (35). Нужно только отметить, что точность приближения следующих собственных значений меньше.