Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. Вариационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физикиСреди приближенных методов решения уравнений в частных производных значительное место занимают вариационные методы. В некоторых областях механики эти методы являются самыми распространенными. В § 10 главы 9 мы уже рассматривали вариационные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь мы рассмотрим применение этих методов к решению краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа. Как уже говорилось, в основе вариационных методов лежит замена краевой задачи для дифференциального уравнения эквивалентной ей вариационной задачей. Приближенное решение краевой задачи сводится к построению приближенного решения соответствующей ей вариационной задачи. Более подробно мы остановимся на методе Ритца приближенного решения вариационных задач, соответствующих тем или иным краевым задачам, поэтому, чтобы не обосновывать сходимость этого метода в каждом конкретном случае, мы изложим этот метод в общем виде, а в конкретных случаях будем лишь проверять выполнение условий, при которых этот метод применим. 1. Метод Ритца решения операторных уравнений и отыскания собственных значений операторов в гильбертовом пространстве.Пусть на линейном множестве
В § 10 главы 9 было показано, что если оператор А положителен, то уравнение (1) имеет не более одного решения, и если решение уравнения (1) существует, то функционал
определенный на
и наоборот, элемент, реализующий минимум функционала В дальнейшем мы всегда будем предполагать существование решения уравнения (1) и будем лишь рассматривать способы приближенного построения этого решения. Для построения приближенного решения уравнения (1) в предположении, что А — положительный оператор, строят последовательность
Последовательности, для которых имеет место условие (4), называют минимизирующими. Если минимизирующая последовательность окажется сходящейся к элементу Как уже отмечалось ранее, не каждая минимизирующая последовательность является сходящейся. Для того чтобы каждая минимизирующая последовательность сходилась к решению z уравнения (1), нужно наложить на оператор А дополнительные ограничения. Таким требованием будет положительная определенность оператора А. Оператор А называют положительно определенным, если существует такая положительная постоянная
Заметим, что положительно определенный оператор является и положительным оператором. Теорема. Если А положительно определенный оператор, то любая минимизирующая последовательность
В самом деле, если z-решение вариационной задачи, то
Далее,
Так как Таким образом, если А — положительно определенный оператор, то за приближенное решение уравнения (1) можно принять элемент Один из способов построения минимизирующей последовательности предложил Ритц. Метод Ритца заключается в следующем. В На выбирается последовательность элементов 1) любое конечное число членов этой последовательности линейно независимо; 2) для любого
При фиксированном целом
с произвольными численными коэффициентами
Постоянные а
т. е.
Таким образом, для отыскания получается симметричная система линейных алгебраических уравнений. Определитель этой системы отличен от нуля, так как если на
что возможно, так как А — симметричный и положительно определенный оператор, то определитель системы есть определитель Грама системы линейно независимых элементов
В силу свойства 2) последовательности
(Здесь [ ] означает скалярное произведение, определенное равенством (12).) Применяя неравенство Буняковского, будем иметь:
Отсюда
Так как
Из (13) и (14) следует, что
т. е. Заметим, что если вместо системы элементов
то минимизирующие последовательности, построенные по методу Ритца, использующие
В этом случае система, аналогичная системе (11), примет вид
и
Заметим также, что вместо свойства 2) системы координатных функций
так как из этого свойства следует свойство 2). В самом деле, пусть
Далее, используя неравенство (5), имеем:
Отсюда, сокращая на
т. е. получим неравенство (7). Если имеется способ отыскания чисел 8, меньших
из которого следует, что
что и позволяет оценить точность приближения Рассмотрим теперь задачу отыскания собственных значений оператора А, т. е. таких значений X, для которых уравнение
имеет нетривиальные решения. Последние называются собственными элементами оператора А, соответствующими собственному значению На оператор А наложим следующие ограничения. Будем предполагать, что оператор А симметричен и ограничен снизу. Оператор А называют ограниченным снизу, если существует такое число
Теорема. Для симметричного оператора А все собственные значения действительны, а собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Действительно, если
Умножая обе части скалярно справа на
откуда
а так как числитель и знаменатель — действительные числа, то
Умножим первое из них скалярно справа на
В силу симметричности оператора А имеем
Задача отыскания собственных значений оператора может быть сведена к вариационной задаче. Теорема. Если А — ограниченный снизу симметричный оператор, а
а В самом деле, пусть
По условию она достигает минимума при
Отсюда
а так как
Заменяя
т. е.
Но
и утверждение будет доказано, если мы покажем, что
Отсюда
Это заканчивает доказательство утверждения. Отыскание следующих по величине собственных значений оператора А тоже может быть сведено к вариационной задаче. Это следует из теоремы: Если
то
Для доказательства возьмем произвольный элемент
ибо
достигает минимума при
Докажем, что и
Но
в силу симметричности оператора А и ортогональности
Если X — любое собственное значение, следующее по величине за
что полностью доказывает утверждение. Вариационная задача, соответствующая задаче отыскания ге-го собственного значения оператора А, может быть сформулирована и следующим образом: Среда всех элементов
где Метод Ритца приближенного решения этих задач (предполагая существование их решений) заключается в следующем. Рассматривается последовательность координатных элементов 1) любое конечное число их: 2) для каждого элемента
(Предполагается, что
и выберем
при условии, что
Решение этой задачи выполняем по правилу неопределенных множителей Лагранжа, т. е. составляем вспомогательную функцию
и ищем безусловный минимум этой функции. Отсюда
или
Определитель этой системы
Если
Умножим (36) на
Но
Таким образом,
Это показывает, что все корни уравнения (35) действительны и один из них дает минимум функционалу С возрастанием
Докажем, что
Рассмотрим сйачала случай
Отсюда, обозначая
имеем:
или
Но
где Если
Это положительно определенный оператор, так как
Далее,
Если
Отсюда по ранее доказанному
т. е.
Для отыскания следующего по величине собственного значения ищем минимум функционала
где
и приравниваем нулю ее частные производные по
Если обе части равенства (43) умножить на
или
Но из системы (36)
откуда
Так как Аналогично ищутся и следующие собственные значения оператора А. Они приближенно равны следующим по величине корням уравнения (35). Нужно только отметить, что точность приближения следующих собственных значений меньше.
|
1 |
Оглавление
|