2. Понятие корректности и устойчивости разностной схемы.

Совокупность разностного уравнения (3) и разностных граничных условий (4) назовем разностной схемой решения задачи (1) — (2). Введем следующие определения.

Будем говорить, что разностная схема (3) — (4) корректна, если при достаточно малом шаге ее решение существует при любых для которых выполнены условия согласования, и для любого существует такое что для данного решения разностной схемы и любого где

будет иметь место неравенство

сразу для всех как только

Это означает, что решение непрерывно зависит от правой части уравнения и правых частей граничных условий, причем зависимость равномерная по

Если уравнение (3) и граничные условия (4) линейны, то данное выше определение корректности равносильно следующему: разностная схема (3) — (4) корректна, если решение существует при любых причем

Разностную схему (3) — (4) называют устойчивой по правой части, если ее решение существует и для любых удовлетворяющих (10), при

Разностную схему называют устойчивой пор граничным условиям

если неравенство (11) имеет место при и

Если разностная схема такова, что условия, входящие в последнее определение, являются аналогичными начальным условиям для дифференциальных уравнений гиперболического или параболического типа, то их называют начальными условиями для разностного уравнения и говорят об устойчивости разностной схемы по начальным условиям. Так как это понятие в дальнейшем встречается достаточно часто, то уточним его.

Пусть координаты точек рассматриваемого пространства и сетка лежит в полупространстве и состоит из слоев Под слоем мы понимаем множество точек сетки, лежащих в плоскости где при Пусть первые граничных условий однозначно определяют значения в узлах слоев Эти условий мы и назовем начальными условиями разностного уравнения (3), если для любого по значениям в узлах слоев используя только те уравнения из (3) — (4), которые связывают значения в узлах слоев можно однозначно определить значения во всех узлах слоя При этих условиях решение уравнения (3), удовлетворяющее граничным условиям (4), существует и единственно.

В примере, приведенном в п. 1. условия являются начальными условиями в этом смысле и

Если разностная схема удовлетворяет требованиям, входящим в определение начальных условий, то начальные условия можно задавать на любых последовательных слоях при этом решение будет однозначно определено на всех последующих слоях Для таких начальных условий введем обозначение

Пусть норма функции аналогичная норме Помимо нормы

характеризующей поведение на всей сетке введем нормы, характеризующие поведение на каждом слое введем норму зависящую только от значений их в узлах слоя

При всех эти нормы должны определяться совершенно одинаково. Потребуем, чтобы норма была согласована с нормой в том смысле, что существует такая константа С, не зависящая от что для любой функции имеет место неравенство

Назовем разностную схему (3) — (4) равномерно устойчивой по начальным условиям в области если найдутся такие постоянные и что при любых для любых заданных на слоях из соотношений

при любом следует неравенство

Это означает, что при изменении меньше чем на 8 начальных условий, задаваемых на любых последовательных слоях, и сохранении без изменений разностного уравнения и остальных граничных условий решение разностной схемы на любом из последующих слоев изменится не больше чем на

Устойчивость по начальным условиям всегда следует из равномерной устойчивости по начальным условиям.

В случае линейной разностной схемы равномерная устойчивость по начальным условиям означает, что из соотношений

следует неравенство

Пусть область О лежит в полосе Пусть при любом —1 для любой функции, заданной на последовательных слоях сетки определена норма где нижний индекс указывает количество последовательных слоев, от значений функции на которых зависит норма, а верхний индекс указывает номер самого верхнего слоя из них.

Теорема. Если при любом для любых функций заданных на слоях и удовлетворяющих уравнениям

имеет место неравенство

где постоянная К не зависит от шаг сетки по переменной то разностная схема (3) — (4) равномерно устойчива по начальным условиям при любых нормах удовлетворяющих неравенствам

в которых не зависят от

Доказательство. Пусть определены в узлах слоев и удовлетворяют уравнениям (15). Тогда по неравенству (16) при всех имеем:

Так как то Отсюда и из неравенств (17) следует, что

а это и означает, что разностная схема равномерно устойчива по начальным значениям.

Эту теорему, дающую признак равномерной устойчивости разностной схемы по начальным условиям, грубо можно сформулировать следующим образом:

Для равномерной устойчивости по начальным условиям, достаточно, чтобы ошибка допущенная при вычислении решения при переходе от одного слоя к другому возрастала бы не более чем в шаг сетки по

Рассмотрим теперь связь равномерной устойчивости по начальным условиям с устойчивостью по правой части.

Будем рассматривать разностную схему (3) — (4), предполагая, что первые граничных условий в ней являются начальными условиями в ранее определенном смысле. Разностное уравнение (3)

и граничные условия (4) есть система уравнений, в которой неизвестными являются значения в узлах сетки Все уравнения этой системы разобьем на группы, включив в группу все те уравнения, в которые входят значения на слое, но не входят значения в узлах вышележащих слоев Совокупность этих уравнений обозначим так:

Если известна на слоях то система (18) однозначно разрешима относительно значений на Обозначим через норму, зависящую только от значений входящих в систему (18), согласованную с в том смысле, что для произвольной функции определенной на Он, выполняется неравенство

где у — постоянная, не зависящая от

Теорема. Если разностная схема (3) — (4) равномерно устойчива по начальным значениям для всех таких что область лежит в полосе существуют такие постоянные что при и любых совпадающих на слоях и удовлетворяющих соотношениям

функции на удовлетворяют неравенству

и для любых совпадающих на слоях выполнено неравенство

где постоянная, порядок дифференциального уравнения по то разностная схема (3) — (4) устойчива по правой части.

Доказательство. Пусть и удовлетворяют уравнениям

где и одним и тем же граничным условиям

Обозначим через функцию, удовлетворяющую граничным условиям совпадающую с на слоях (т. е. удовлетворяющую уравнению а на слоях удовлетворяющую уравнению Здесь Функции совпадают на слоях а на удовлетворяют уравнениям

Из неравенства и условия согласования норм следует неравенство

т. е. для выполнены условия, аналогичные условиям (19) теоремы. Поэтому

а в силу неравенства (20)

На слоях функции удовлетворяют одним и тем же уравнениям, а их начальные условия по неравенству (22) мало отличаются друг от друга. Следовательно, в силу равномерной устойчивости по начальным значениям из (22) следует, что при к

Так как на имеем а на функции определяются из одинаковых уравнений, то С другой стороны, на имеем Поэтому, написав неравенства (23) для и сложив их почленно, получим:

Так как область лежит в полосе то Поэтому в последнем неравенстве правая часть меньше некоторой постоянной, умноженной на 8. В силу условия ласования

норм и следует, что при достаточно малом для всех имеет место неравенство

а это и означает устойчивость по правой части.

Корректность разностной схемы равносильна устойчивости разностной схемы по правой части и всем граничным условиям. Из последней теоремы следует, что для некоторых разностных схем нет необходимости проверять устойчивость схемы по правой части, а достаточно проверить устойчивость по начальным значениям, что сильно упрощает проверку корректности разностной схемы.