2. Компактная схема Гаусса.

Придумано много различных видоизменений схемы Гаусса, дающих те или иные преимущества. Приведем одну такую схему. Рассмотрим сначала систему четырех уравнений общего вида:

Исходные данные, промежуточные и окончательные результаты будем записывать в следующую схему:

Верхнюю половину схемы мы отводим для коэффициентов и свободных членов исходной системы, а в нижней половине будут помещаться промежуточные и окончательные результаты. Верхний индекс показывает порядок получения промежуточных и окончательных результатов.

Величины просто совпадают с соответствующими величинам и выписываются здесь лишь для удобства пользования схемой.

Величины вычисляем по формулам

При этом уравнение

эквивалентно первому уравнению исходной системы.

После этого вычисляем величины по формулам

Таким образом, будут являться коэффициентами при во втором, третьем и четвертом уравнениях системы после исключения в них неизвестного с помощью уравнения (9).

Следующим этапом будет являться получение коэффициентов и правой части второго уравнения после исключения из него указанным выше способом неизвестного и последующего деления на

коэффициент при Очевидно, эти величины будут определяться по формулам:

Таким образом, после преобразования второе уравнение примет вид

Далее будем исключать неизвестное из третьего и четвертого уравнений. Опять сначала подсчитываем коэффициенты при в третьем и четвертом уравнениях. Они определятся по формулам:

Первые два члена правой части этой формулы дают коэффициенты при третьего и четвертого уравнений после исключения а после вычитания последнего члена получим результат исключения

Коэффициенты и правая часть третьего уравнения после деления на коэффициент при примут вид

а само это уравнение запишется в виде

Остается еще исключить из четвертого уравнения. При этом, коэффициент при в нем примет вид

а свободный член после исключения и деления на коэффициент при будет

При этом четвертое уравнение запишется в виде

Нетрудно заметить, что для системы уравнений при отыскании величин следует поочередно использовать формулы:

Если проследить ход вычислений по схеме, то легко обнаружить закон образования величин

Неизвестные находятся последовательно из системы уравнений

Будем называть эту схему компактной схемой Гаусса. При решении системы уравнений по компактной схеме Гаусса требуется произвести столько же умножений и делений, как и в схеме главных элементов. Однако она требует меньше записей. Схема допускает такой же контроль, как и ранее.

Так как вычисления по компактной схеме Гаусса более систематизированы, чем по схеме главных элементов, то процесс вычислений легче программируется для автоматических машин. С другой стороны, вычисления по этой схеме могут привести к большой потере точности. Кроме того, для того чтобы процесс вычислений был осуществим, нужно требовать отличие от нуля всех

Приведем результаты вычислений при решении приведенной в начале параграфа системы (1) по компактной схеме Гаусса:

(см. скан)

Применяя компактную схему Гаусса, мы элементарными преобразованиями переводим матрицу А системы в верхнюю треугольную матрицу

Интересно отметить, что если рассмотреть еще матрицу

также получающуюся в процессе наших вычислений, то имеет место равенство

Это равенство просто получается, если использовать формулы (19) и (20). Так как снова треугольная матрица, то прямой ход при решении системы уравнений по компактной схеме Гаусса эквивалентен умножению системы на треугольную матрицу.