2. Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом замены ядра на вырожденное.

Если в уравнении (2) ядро вырожденное, то решение этого уравнения может быть найдено в конечном виде. В самом деле, пусть

Можно считать, что суть системы линейно независимых на отрезке функций. Так как интегральное уравнение будет иметь вид

то решение его можно искать в виде

где некоторые постоянные. Подставляя в уравнение (18) и сокращая на X, получим:

Вводя обозначения

и принимая во внимание линейную независимость функций для отыскания получим систему линейных алгебраических уравнений

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение для и решение интегрального уравнения будет найдено в явном виде. Если же при данном значении X определитель равен нулю, то X будет собственным значением ядра В этом случае, находя все линейно независимые решения соответствующей однородной системы, мы в явном виде найдем все линейно независимые между собой собственные функции ядра соответствующие данному собственному значению

Метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма с помощью замены ядра близким к нему вырожденным ядром основан на следующей теореме:

Теорема. Если

— два интегральных уравнения, резольвента второго из этих уравнений и существуют такие константы

что имеют место неравенства

и выполнено условие

то уравнение (20) имеет единственное решение и

где

Доказательство. Предполагая существование ограниченного решения (20), обозначим через верхнюю границу его абсолютной величины на отрезке и рассмотрим интегральное уравнение

где

Тогда

Далее, так как

то

или

откуда

Таким образом, при выполнении условия (25) все решения уравнения (20) ограничены одной и той же постоянной, как бы мы ни выбирали а это означает, что X не является собственным значением и интегральное уравнение (20) имеет только единственное решение, ибо если бы X было собственным значением ядра, то, прибавляя к какому-либо решению неоднородного уравнения (20) собственную функцию ядра мы снова получили бы решение уравнения (20). Но собственная функция может быть взята такой, что максимум ее абсолютной величины будет больше любого наперед заданного числа, а это означает, что и для уравнения (20) можно было бы найти решение сколь угодно большое по абсолютной величине. Докажем теперь оценку (26). Мы имеем:

или

Отсюда

Но

Следовательно,

Из доказанной теоремы следует, что если можно построить достаточно близкое к ядру вырожденное ядро то, решив уравнение с вырожденным ядром мы получим решение, близкое к решению уравнения с ядром при той же лравой части. Более того, если мы построим последовательность вырожденных ядер равномерно сходящуюся к ядру то последовательность решений уравнений с ядрами будет равномерно сходиться к решению уравнения с ядром

Способы построения вырожденных ядер, близких к данному ядру могут быть самыми различными. Например, ядро можно приближать частичными суммами степенного или двойного

тригонометрического ряда, если ядро разлагается в равномерно сходящийся в прямоугольнике степенной или тригонометрический ряд, или приближать его алгебраическими или тригонометрическими интерполяционными многочленами.

Бэтмен предложил определять вырожденное ядро аппроксимирующее ядро с помощью равенства

где некоторые точки отрезка Представляя элементы первого столбца в виде

и разлагая определитель (27) на сумму двух определителей, после несложных преобразований получим явный вид ядра:

откуда видно сразу, что это ядро вырожденное. Это ядро можно также переписать в виде

(см. скан)

Из этого представления видно, что совпадает с

на прямых Бэтмен предложил также способ построения резольвенты, а следовательно и явного решения интегрального уравнения, если ядро интегрального уравнения представимо в виде суммы ядра для которого известна резольвента, и вырожденного ядра Если ядро

есть резольвента ядра то резольвента ядра имеет вид

где

Используя этот результат, иногда целесообразно приближать ядро не вырожденным ядром, а суммой вырожденного ядра и ядра с известной резольвентой.

Для ядра построенного по способу Бэтмена, резольвента определяется из уравнения

где

Тогда приближенное решение уравнения (2) может быть записано в виде

Результаты Бэтмена мы приводим без доказательства, которое можно найти в книге Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные методы высшего анализа».

Пример. Найти решение интегрального уравнения

Ядро уравнения аппроксимируем суммой первых трех членов разложения в ряд Тейлора, т. е. положим

и вместо исходного уравнения рассмотрим интегральное уравнение

Решение последнего ищем в виде

Для определения постоянных получим систему

Решая ее, получим следующий результат:

т. е.

Точное решение интегрального уравнения: Из найденного приближенного решения при имеем:

т. е. расхождение с точным решением всего 0,008.