§ 6. Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей

Известно, что многочлен

с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов степени не выше двух тоже с

действительными коэффициентами. Линейные множители в этом разложении соответствуют действительным корням уравнения

а квадратичные — парам комплексно-сопряженных корней. Таким образом, имея способы разложения многочлена на множители, мы сведем задачу отыскания корней уравнения (2) к решению совсем простых уравнений. В связи с этим разработаны методы выделения действительных множителей многочлена

При применении методов выделения множителей приходится выполнять многократно деление многочлена на многочлен, т. е. находить частное и остаток. Если делитель имеет первую степень, то это удобно выполнять по схеме Горнера. Пусть требуется найти частное и остаток от деления многочлена

на многочлен Обозначим остаток отделения через а частным пусть будет многочлен

Тогда

Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях х в правой и левой частях тождества (5) дает

откуда

Вычисления удобно располагать по следующей схеме — схеме Горнера:

где а каждое число нижней строки равно сумме двух чисел, стоящих над ним.

Так как из (5) видно, что то схему Горнера удобно применять для отыскания значений многочлена при Для отыскания частного

и остатка

от деления многочлена (3) на множитель можно использовать следующую схему:

где последняя строка получается как сумма первых трех строк. Эта схема просто получается из тождества

сравнением коэффициентов при одинаковых степенях х. Это дает

откуда следует:

что и реализовано в схеме.

Нетрудно сообразить, как будет выглядеть схема для определения коэффициентов частного и остатка при делении многочлена (3) на многочлен