§ 6. Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей
Известно, что многочлен
с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов степени не выше двух тоже с
действительными коэффициентами. Линейные множители в этом разложении соответствуют действительным корням уравнения
а квадратичные — парам комплексно-сопряженных корней. Таким образом, имея способы разложения многочлена на множители, мы сведем задачу отыскания корней уравнения (2) к решению совсем простых уравнений. В связи с этим разработаны методы выделения действительных множителей многочлена
При применении методов выделения множителей приходится выполнять многократно деление многочлена на многочлен, т. е. находить частное и остаток. Если делитель имеет первую степень, то это удобно выполнять по схеме Горнера. Пусть требуется найти частное и остаток от деления многочлена
на многочлен
Обозначим остаток отделения через
а частным пусть будет многочлен
Тогда
Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях х в правой и левой частях тождества (5) дает
откуда
Вычисления удобно располагать по следующей схеме — схеме Горнера:
где
а каждое число нижней строки равно сумме двух чисел, стоящих над ним.
Так как из (5) видно, что
то схему Горнера удобно применять для отыскания значений многочлена
при
Для отыскания частного
и остатка
от деления многочлена (3) на множитель
можно использовать следующую схему:
где последняя строка получается как сумма первых трех строк. Эта схема просто получается из тождества
сравнением коэффициентов при одинаковых степенях х. Это дает
откуда следует:
что и реализовано в схеме.
Нетрудно сообразить, как будет выглядеть схема для определения коэффициентов частного и остатка при делении многочлена (3) на многочлен