3. Метод Хичкока выделения квадратного множителя.

Произведем деление заданного многочлена

на трехчлен

с неопределенными коэффициентами Обозначив через частное от деления, получим тождество

где многочлены от Для того чтобы при некоторых значениях трехчлен (34) был делителем необходимо и достаточно обращения в нуль многочленов Таким образом, для отыскания коэффициентов квадратичного делителя (34) многочлена нужно найти решение системы

Хичкок предложил для решения этой системы метод, который по существу является методом Ньютона, но только в методе Хичкока не используется явный вид многочленов а их значения и значения производных, нужные в методе Ньютона, находятся путем двукратного деления на приближенное выражение

Покажем, как можно на этом пути получить производные от Разделим многочлен входящий в (35), снова на и запишем тождество

Подставляя в (35), будем иметь:

Продифференцируем последнее тождество по и в результат дифференцирования подставим вместо х один из корней трехчлена (34). В результате получим:

Учитывая, что

равенства (39) можно записать в таком виде:

Если трехчлен имеет различные корни, т. е. то из (41) следует равенство нулю каждой из квадратных скобок, поэтому

Таким образом двукратное деление на позволяет получить и частные производные от по систему (36) можно решать по методу Ньютона. Если уже известно приближение и -коэффициентов искомого множителя, то двукратным делением на трехчлен находим и по В соответствии с методом Ньютона находим следующее приближение решая систему

где

Если начальное приближение выбрано достаточно хорошо, то сходимость не вызывает никаких сомнений.

Пример. Снова будем разыскивать квадратичный множитель многочлена

Приняв за начальное приближение двукратным делением на находим:

(Для сокращения записи полагаем ) Система (43) примет вид

откуда

Дальнейшие вычисления понятны без пояснений:

Отклонение третьего приближения от точных значений равно 0,0002.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)