§ 6. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков

Уравнения высших порядков могут быть сведены к системе уравнений первого порядка. Поэтому на них переносятся все те методы, о которых говорилось в предыдущем параграфе. Однако при этом получаются системы очень специфичного вида, для которых возможны упрощения общих методов. К этому вопросу мы сейчас и перейдем.

Пусгь задано дифференциальное уравнение

и требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям: Воспользуемся тем же способом,

который мы применяли для уравнений первого порядка. Предполагаем, что нам известны значения в точках

Находим тогда значения и строим интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад:

Интегрируя его в пределах получим:

При будем иметь:

где -коэффициенты экстраполяционной формулы Адамса. По (4) мы можем вычислить Интегрируя (3) по в пределах [0, 1], лолучим:

где

Вычислив коэффициенты мы сможем найти и тем самым продвинуться на один шаг.

На практике приходится сталкиваться с уравнениями, в которых не зависит от у. Тогда нет необходимости на каждом шаге вычислять у. Поэтому целесообразно совершенно исключить Для этого проинтегрируем (3) по в пределах

(см. скан)

Таким образом, мы получим:

Эта формула носит имя Штермера. Процесс вычислений по формуле Штёрмера идет так же, как и для уравнений первого порядка, только вместо берут В качестве примера рассмотрим уравнение

и будем отыскивать его решение, удовлетворяющее начальным данным: Будем использовать формулу (12) до третьих разностей. Начальные четыре значения возьмем из таблицы, полученной по формуле Рунге — Кутта. Получим таблицу:

(см. скан)

Как мы видим, вычисления оказались очень несложными — производятся в уме. Записей очень мало. Результаты довольно точные.

Рассмотрим еще пример интерполяционной разностной формулы для решения дифференциальных уравнений второго порядка. На

этот раз применим интерполяционную формулу Стирлинга:

Как и ранее, получим:

В частности, при будем иметь:

где

Интегрируем еще раз (15) по в пределах [0, 1]. Будем иметь:

(см. скан)

В частности,

Подберем теперь такую функцию срот, для которой бы столбец являлся столбцом вторых разностей. Это можно сделать бесчисленным множеством способов. Можно, например, произвольным образом задать и последовательным сложением с заполнить столбец первых разностей искомой функции» а затем произвольным образом задать и последовательным сложением с получить таблицу значений Будем обозначат. через через

Левая часть (22) является второй разностью для значений взятой в точке Правая часть (22) является второй разностью от

взятой также в точке Поэтому первые разности этих двух табличных функций могут отличаться только на постоянную. Таким образом,

Эта постоянная С будет равна нулю, если при она нуль, т. е. если

Последнее равенство будет выполнено, если подходящим образом выбрать Будем предполагать, что это сделано и С в (27) равно нулю. Тогда, еще раз применяя такие же рассуждения, получим:

Опять если выбрать так, что будет выполнено равенство

то (29) перейдет в

или, если использовать (25),

При этом и нужно выбрать так, чтобы были выполнены равенства:

Равенство (32) называют формулой суммирования Гаусса.

В качестве примера на применение формулы суммирования Гаусса рассмотрим задачу о колебании математического маятника. Дифференциальное уравнение этих колебаний

путем замены независимой переменной

приводим к виду

Пусть начальные условия будут: Шаг А возьмем равным 0,2. Вычисления будем производить по формуле

где

Предварительно вычислим значения для пользуясь формулами:

Вычисления дадут

Теперь уточним эти значения по формуле (37). Для этого вычисляем и разности которые можно найти для пяти известных значений Далее, воспользовавшись тем, что в этих строках не достигает 0,5 единицы последнего разряда, находим по формуле Находим

и

Заполняем таблицу и исправляем по формуле (37). Получим:

Исправленные значения вставляем в таблицу. При этом значение не изменяются.

Теперь можно продвигаться дальше. Проще всего это можно осуществить путем экстраполяции значений Для этого составляем таблицу разностей экстраполируем вторую разность на один шаг и находим Отсюда Это дает Исправление не влияет на полученные значения Поэтому после исправления разностей можно продвигаться на следующий шаг. Результаты вычислений приведены в данной ниже таблице.

(см. скан)

Интерполируя, легко находим, что при Точное значение х с четырьмя десятичными знаками равно 1,6858.

Можно было бы получить еще ряд формул. Но мы этим ограничимся, так как уверены, что читатель или сам сумеет получить удобные в данных конкретных условиях формулы, или найдет их в многочисленных руководствах, посвященных этому вопросу. Заметим только, что и в этом случае могут найти применение формулы типа (47) предыдущего параграфа.