4. Построение итераций высших порядков с помощью теоремы Кёнига.

А. Теорема Кёнига. Прежде чем излагать указанный метод построения итераций, докажем теорему Кёнига.

Теорема. Если аналитические функции в области содержащей единственный корень уравнения кратности единица и то

где коэффициент при в разложении по степеням z.

Доказательство. Так как для функции точка является ближайшей к началу координат особой точкой, то ряд

сходится при всех а ряд

сходится при всех z, для которых Отсюда

и

Таким образом,

Если положить

то из (45) имеем:

Если — некоторое число, удовлетворяющее неравенству то ряд (43) сходится при Пусть Тогда

Так как

то при где существует такое что при

Но поэтому правая часть в (51) стремится к нулю при т. е.

Если функция имеет единственный простой корень в области где некоторое число, аналитические функции в этой области, причем то из теоремы Кёнига следует, что

где коэффициент при в разложении в по степеням

Рассмотрим уравнение

и итерацию

Докажем, что последовательность сходится к а, если достаточно близко к а, и итерация (54) имеет порядок не ниже В самом деле, если

то совершенно аналогично равенству (50) имеет место равенство

где

Отсюда видно, что имеет множитель (а — поэтому при Это и означает, что итерация (54) имеет порядок не ниже и будет сходиться к а, если взято из окрестности в которой

Б. Построение итераций высших порядков. Функцию можно находить разными путями. Прежде всего, так как есть коэффициент разложения степеням то

и

Если известны разложения функций по степеням

то

откуда

можно найти, используя эти рекуррентные соотношения. Рассматривая (59) как систему линейных уравнений относительно и решая ее по правилу Крамера, получим:

и

Заметим, что при мы снова приходим к методу Ньютона.