4. Устойчивость разностных методов решения дифференциальных уравнений.

Вернемся снова к общей формуле (14). Нам будет полезно иметь выражение через все предыдущие Введем обозначения:

При этом (33) можно записать в виде

где

Обращаем внимание на тот факт, что в правой части суммирование происходит до а не до . В этом и смысл указанного преобразования.

Будем разыскивать решение уравнения (70) в виде

где является решением неоднородного уравнения (70) и удовлетворяет нулевым начальным условиям, а удовлетворяет уравнению (70) при и тем же начальным условиям, что и Таким образом,

Для отыскания введем величины (аналог функции Грина), удовлетворяющие следующим условиям:

При этом

Введем вместо новый индекс суммирования, положив Тогда

Так как при то нижний индекс во внутренней сумме (78) можно считать нулем. Верхний предел суммирования по можно положить равным силу начальных условий для Поэтому

Отсюда, в силу (76), получим:

или по (75)

Следовательно,

Отметим тот факт, что для отыскания нам придется находить решения одного и того же уравнения

Поведение решений этого уравнения при возрастании будет определяться расположением корней характеристического уравнения

Если, все корни уравнения (84) расположены внутри или на границе единичного круга, причем корни, лежащие на границе, не являются кратными, то при любых начальных значениях будут оставаться ограниченными. Если же уравнение (84) имеет корни, расположенные вне единичной окружности или же кратные на этой окружности, то имеется бесчисленное множество решений уравнения (83), неограниченно возрастающих по абсолютной величине по показательному или степенному закону при . Эти выводы основываются на представлении общего решения линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, данном в начале параграфа.

Таким образом, при наличии кратных корней уравнения (84) на единичной окружности или при наличии корней, расположенных вне единичной окружности, мы столкнемся, вообще говоря, с неограниченным возрастанием Это вызовет по (82) неограниченное возрастание а тем самым и Такое явление чрезвычайно невыгодно для вычислительной практики, так как связано с быстрым накоплением ошибок.

Проиллюстрируем это примером. Будем искать решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию Решение будет разыскиваться на отрезке с шагом по разностной формуле

полученной в § 5. Это — экстраполяционная формула второго порядка, имеющая наивысший относительно порядок ошибки на шаге, равный 4. В нашем случае (85) перейдет в

Точное решение уравнения (86) имеет вид

где 1,105168 и — 4,705168 являются корнями квадратного уравнения

и С — постоянная, зависящая от выбора Точным решением дифференциального уравнения будет Возьмем в качестве значение с шестью верными десятичными знаками: и будем последовательно находить по (85) также с шестью десятичными знаками. Результаты вычислений приведены в таблице:

(см. скан)

Как мы видим, ошибки чрезвычайно быстро растут. Хотя было сделано мало шагов, последние значения совершенно не

удовлетворительны. Взяв любую экстраполяционную формулу второго порядка с худшей ошибкой метода, например формулу Адамса, мы получили бы значительно лучшие результаты. В данном случае дает неплохое представление на отрезке [0, 1]. Так при разность достигает лишь 77 единиц шестого десятичного знака. Поэтому казалось бы, что, взяв более грубое значение при котором С в формуле (87) обратится в нуль, мы можем существенно улучшить результаты. Однако, в силу ошибок округления, второе слагаемое в (87) рано или поздно начнет сказываться и исказит результаты. Вычисления по (85) при дают:

(см. скан)

Сначала погрешности умеренны, но затем они все быстрее и быстрее растут. Если бы продолжить наши вычисления дальше, то погрешности превысили бы значения

В связи с отмеченным явлением будем называть формулу численного интегрирования (14) устойчивой, если все корни уравнения (84) лежат или внутри или на границе единичного круга, причем последние не являются кратными. В противном случае назовем формулу (14) неустойчивой. Вообще говоря, неустойчивые формулы дают неудовлетворительные численные результаты и должны применяться с большой осторожностью.