2. Сходимость метода Зейделя.

Исследуем теперь сходимость метода Зейделя. Разрешая (2) при относительно получим

Это означает, что метод Зейделя эквивалентен простой итерации с матрицей — Таким образом, чтобы метод сходился необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения этой матрицы были по модулю меньше единицы. Таким образом, должны быть по модулю меньше единицы все значения X, удовлетворяющие уравнению

Но корни этого уравнения будут совпадать с корнями уравнения

Итак мы доказали теорему. Для сходимости метода Зейделя необходимости достаточно, чтобы все корни уравнения

были по модулю меньше единицы.

Области сходимости простой итерации и итерации по Зейделю лишь пересекаются. Это значит, что существуют такие матрицы, для которых метод Зейделя сходится, а метод простой итерации нет, и наоборот. Нетрудно показать, что первое и второе достаточные условия (9) и (10) § 9 для сходимости метода простой итерации будут одновременно достаточными условиями и для сходимости процесса Зейделя.

Иногда метод Зейделя дает более быструю сходимость, чем простая итерация. Так будет, например, если выполнено условие (14) предыдущего параграфа. Обозначим

Так как условие (14) выполнено, то Обозначим также

Тогда простой итерации будет соответствовать вычислительная схема

я методу Зейделя схема

По (11) и (9) разность между точным решением приближением, полученным простой итерацией, будет иметь оценку

В то же время, если ввести обозначения

то для разности между точным решением приближением, полученным по методу Зейделя, получим оценку

и

Но

и

Отсюда

что и требовалось доказать.

Теорема. Если матрица А симметрическая и положительно определенная, а приведение системы к виду осуществляется путем деления уравнений на диагональные элементы и последующего перенесения всех членов кроме где — номер уравнения, направо, то метод Зейделя сходится.

Проверим, что при выполнении наших условий все собственные значения матрицы

по модулю меньше единицы. Пусть и два каких-то собственных значения этой матрицы, соответствующие им собственные векторы. Тогда мы можем записать:

Отсюда

Рассмотрим скалярные произведения Они будут представляться в виде

Используя свойства скалярного произведения, получим:

Поэтому второе из равенств (23) можно переписать в виде

или

Решая (26) и первое из равенств (23) относительно получим:

Тогда

Положив здесь найдем:

Отсюда

Так как А положительно определенная, то все ее диагональные элементы положительны. Поэтому

Заметим, что не является собственным значением матрицы Действительно, если бы существовал такой вектор z, что

то мы имели бы

или

а это равенство возможно только при так как существует обратная матрица

Итак, из (30) следует, что

и утверждение доказано.

Можно доказать также, что если матрица симметрична и ее диагональные элементы положительны, то положительная определенность матрицы необходима для сходимости метода Зейделя.