5. Оценка погрешности и сходимость устойчивых разностных методов решения дифференциальных уравнений.

Дальнейшую оценку будем производить для того случая, когда формула численного интегрирования (14) устойчива.

Нам необходимо принять некоторые меры предосторожности для того, чтобы исследуемые функции не выходили из области в которой проводятся все рассуждения. Это потребует некоторых дополнительных предположений. Прежде всего предположим, что А

настолько мало, что для постоянной Липшица функции выполнено неравенство

На основании принципа сжатых отображений можно утверждать, что если

заданная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

где было определено ранее (см. начало п. 2), то уравнение

имеет в одно и только одно решение При этом

или

Необходимо также наложить некоторые ограничения на погрешности Будем предполагать, что

и что для любой раз дифференцируемой функции

где на и С — постоянная, не зависящая от

Обозначим Так как формула (14) предполагается устойчивой, то можно найти такую постоянную что при любых

Сначала получим искомую оценку, не исследуя вопрос о том, находятся ли в области или нет. Затем мы наложим еще одно ограничение на которое обеспечит нам невыхождение и из

Начнем с оценки и (94) имеем;

или если обозначить

то

Поэтому формула (82) даст

Но по

и по

Следовательно,

Наряду с величинами рассмотрим последовательность: величин определенную рекуррентным соотношением

Возьмем

При этом, очевидно,

Взяв в получим:

и кроме того, Нетрудно доказать по индукции, что при любых имеет место

Заменим в на Получим:

Вычитая из (105) выражение (110), найдем:

Решение разностного уравнения (111) с начальным условием (106) имеет вид

Итак,

Искомая оценка получена. Необходимо только обеспечить, чтобы мы не вышли за пределы области Обеспечим для этого выполнение условия (91). Это потребует еще одного ограничения. Будем предполагать, что

При

Предполагая, что неравенство

выполнено при получаем по (113) и (114):

Таким образом, пока неравенство (116) будет иметь место.

Неравенство (113) полностью обосновано.

Теперь, использовав неравенство (94), будем иметь:

Это и есть окончательная оценка.

Полученная нами оценка является очень грубой. Но и более точные оценки будут иметь очень ограниченное применение, так как обычно бывает трудно ограничить входящие в оценку величины. До сих пор хороших эффективных оценок не имеется.

Отметим одно следствие из полученной оценки. Если в (118) устремить к нулю, зафиксировав х и считая то в пределе получим:

Это неравенство характерно для устойчивых формул.

Неравенство (118) можно было бы обобщить на случай систем уравнений, если ввести в рассмотрение вместо абсолютных величин соответствующие нормы.