§ 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных производных

Метод прогонки мы изложим на примере решения краевых задач для уравнения теплопроводности и для уравнения Пуассона.

1. Уравнение теплопроводности.

Пусть требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее условиям:

Для решения этой задачи применим следующую разностную схему. Возьмем сетку узлов: и для внутреннего узла запишем разностное уравнение

или

аппроксимирующее уравнение (1) в узле с точностью до В граничных узлах запишем следующие соотношения:

Из методических соображений рассмотрим сначала предельный случай называемый метод прямых, о котором подробнее см. § 8). Полагая в этом случае будем иметь:

Таким образом, для отыскания (при известной ) имеем краевую задачу (8), (10). Для ее решения применим метод прогонки, описанный в § 9 главы 9. В соответствии с этим методом для отыскания находим функции удовлетворяющие уравнениям:

и начальным условиям:

т. е. совершаем прямую прогонку. Далее, из системы

определяем интегрируя уравнение с начальным условием на правом конце, находим функцию т. е. выполняем обратную прогонку.

Так как то, используя этот метод, найдем последовательно т. е. приближенные выражения для решения на прямых Если то при численном решении системы (11) и уравнения не будем иметь резкой потери точности при отыскании значений

Теперь видоизменим этот метод применительно к методу сеток, т. е. рассмотрим случай этом случае метод прогонки мы будем применять не к дифференцируемому уравнению, а к граничной задаче для разностного уравнения второго порядка (6) с граничными условиями (у считаем фиксированным, а — известными).

Уравнения (5) и (7) при можно записать в таком виде:

где

В соответствии с идеей метода прогонок будем перегонять левое граничное условие в правый граничный узел, т. е. будем находить такие чтобы при всех

Подставляя из (18) в (14), будем иметь:

или, разрешая относительно

где

Теперь решение находится просто. Зная находим с помощью рекуррентных соотношений (19), (20) и далее с помощью (18) находим последовательно

Погрешности, допущенные при вычислении апри этом методе не могут сильно сказаться На результате, если . В самом деле, если то из (19) следует, что и так как Но при поэтому 1 при всех Погрешности в и а вызовут погрешности в и и будут сказываться на значениях Покажем, что они не возрастают. Если погрешность в то с точностью до членов первого порядка относительно

В нашем случае и множитель при в правой части равен т. е.

Но Следовательно, с возрастанием I погрешность будет убывать. Из равенства (20) видно, что при вычислении значение умножается на т. е. на величину, по модулю меньшую единицы, а это означает, что погрешность значения при переходе к тоже не будет возрастать. При обратной прогонке погрешность при вычислении не может возрастать, так как каждое предыдущее значение умножается на

Если то не зависят от от и их следует вычислить только один раз. Это уменьшает объем вычислительной работы.

Отметим, что мы специально записали уравнение (14) в общем виде, хотя в нашем случае и все соотношения имели бы более простой вид. Мы это сделали, желая показать, как можно применять метод прогонок для решения граничных задач для линейных разностных уравнений второго порядка, с которыми приходится встречаться во многих вопросах.