4. Другие разностные схемы.

Мы рассматривали простейшие разностные схемы. Методами, изложенными в § 2, можно построить множество других разностных схем, которые будут с различной точностью аппроксимировать дифференциальное уравнение (1), начальные условия (2) и в случае смешанной задачи граничные условия. Все схемы можно разбить на два типа: явные схемы и неявные схемы. Явными схемами называют такие схемы, что при любом у в каждое из уравнений, связывающих значения искомого решения на горизонтальных рядах входит лишь одна точка ряда у, так что значение решения в каждом узле горизонтального ряда можьо вычислить независимо от его значений в других узлах этого ряда (исключая граничные узлы). Неявными схемами называют такие схемы, когда для определения значений решения в узлах ряда при известных значениях решения во всех предыдущих рядах нужно решать систему уравнений, связывающих значения решения в узлах ряда. Все рассмотренные выше схемы являются явными схемами. Приведем пример простой неявной разностной схемы для простейшего гиперболического уравнения

причем будем для простоты рассматривать квадратную сетку с шагом

Будем строить разностную аппроксимацию дифференциального оператора в узле используя значения функции и в семи узлах, изображенных на рис. 46.

Рис. 46.

Предполагая у функции существование непрерывных производных до четвертого порядка включительно, разложим функцию по формуле Тейлора с

остаточным членом в производных четвертого порядка. Будем иметь:

Составим линейную комбинацию

с неопределенными коэффициентами и подберем их так, чтобы после подстановки разложений в правой части исчезли функция и производные а члены со вторыми производными давали бы оператор Для этого нужно потребовать, чтобы удовлетворяли системе уравнений

Добавим еще одно уравнение

Тогда, решая систему, получим для следующие значения:

При этих значениях коэффициентов после подстановки в разложений по формуле Тейлора и приведения подобных членов получим:

Отбрасывая члены с для уравнения получим разностную аппроксимацию

погрешность которой будет порядка

Используя указанный способ и привлекая большее количество узлов, можно построить разностные аппроксимации как для дифференциального уравнения (29), так и для общего уравнения (2), имеющие больший порядок точности, причем в зависимости от выбора системы узлов получим явные или неявные схемы. Например, набор узлов, изображенный на рис. 47, даст явную схему, а набор узлов, изображенный на рис. 48, даст неявную схему.

Рис. 47.

Рис. 48.

Нужно заметить, что разностные аппроксимации высокой точности для дифференциального уравнения можно применять только в том случае, если заранее известно, что решение имеет производные нужных порядков. Кроме того, чтобы не потерять выигрыш в точности решения, который мы хотим получить, применяя разностную аппроксимацию высокого порядка точности для

дифференциального уравнения, нужно использовать аппроксимации начальных и граничных условий такой же точности.

Помимо этого нужно всегда помнить, что не всякая разностная схема может быть использована для практического счета, если даже при выборе этой схемы имеет место сходимость последовательности решений, полученных с помощью ее, при неограниченном измельчении сетки к точному решению задачи, так как схема может оказаться непригодной из-за резкого накопления погрешности при счете. Здесь мы приходим к понятию устойчивости разностных схем, которое будет подробно изложено в § 6.

Пример. Найдем методом сеток решение задачи

Для решения применим квадратную сетку с шагом Значения искомого решения находим по формулам:

Для отыскания приближенных значений на последующих горизонтальных рядах пользуемся уравнением

Результаты приведены в таблице (в единицах четвертого десятичного разряда):

(см. скан)

Значение решения при не приведены, так как решение симметрично относительно прямой . В последней строке приведены значения точного решения задачи при Сравнение последней и предпоследней строк показывает, что метод сеток дает очень хорошее совпадение с точным решением.