§ 2. Метод С. А. Чаплыгина

1. Теоремы о дифференциальных неравенствах.

Метод Чаплыгина основан на его теореме, которую он назвал теоремой о дифференциальных неравенствах. Приведем доказательство этой теоремы в формулировке, несколько более уточненной по сравнению с данной самим С. А. Чаплыгиным.

Теорема 1. Пусть функции непрерывны в области

и удовлетворяют условию

Пусть, далее, и — решения дифференциальных уравнений

проходящие через точку определенные при а и лежащие между Тогда если удовлетворяет в нашей области условию Липшица, то при а имеет место неравенство Более того, если в некоторой точке имеет место неравенство то при всех

Для доказательства рассмотрим

и обозначим Тогда для z получим следующее дифференциальное уравнение:

Рассматривая здесь как известную функцию х и обозначая

получим, что z удовлетворяет дифференциальному уравнению

и начальному условию Запишем уравнение (7) в виде

На основании (2) имеем:

Так как удовлетворяет условию Липшица, то

Таким образом,

Предположим, что вопреки утверждению теоремы в некоторой точке отрезка Так как то на отрезке найдутся точки, где Не уменьшая

общности, мы можем предположить, что эта точка единственная и что она совпадает с Тогда для всех точек На отрезке неравенство (11) можно записать в виде

Отсюда

и для всех точек

что противоречит нашему предположению. Итак, мы доказали, что на всем отрезке или 0.

Может оказаться, что при Тогда Это может быть даже тогда, когда совпадает с не всюду в области Так, если

то

всюду, за исключением точек, лежащих на прямой Но дифференциальные уравнения

имеют совпадающее решение удовлетворяющее начальному условию

Предположим теперь, что имеется такая точка в которой Покажем тогда, что на всем отрезке будет иметь место неравенство Если бы это было не так, то нашлась бы такая точка что на Обозначим через ближайшую к точку отрезка в которой На интервале неравенство (11) может быть записано в виде

Отсюда

или

Б силу нашего предположения, что будем иметь:

или при так как Но тогда правая часть неравенства (18) даст

или

а это противоречит нашему предположению, что Теорема доказана полностью.

Сделаем несколько замечаний к доказанной теореме.

1. Если вместо (2) предположить, что

в рассматриваемой области (что делал С. А. Чаплыгин), то при всех будет Действительно, в силу неравенства (24) будем иметь Отсюда при всех и достаточно близких к В силу теоремы 1 это будет справедливо и при всех

2. Если бы вместо взять непрерывную функцию ср(х, у) такую, что

в рассматриваемой области, то, повторяя рассуждения доказательства теоремы 1, мы доказали бы, что решения уравнений

удовлетворяющие начальным условиям и при удовлетворяют неравенству

причем, если в какой-то точке то при всех

Теорема о дифференциальных неравенствах Чаплыгина позволяет в некоторых случаях отыскать границы в которых заключено точное решение

На практике чаще всего для отыскания подбирают функции и так, чтобы имели место неравенства

легко интегрировались бы в квадратурах.

Рассмотрим такой пример. Пусть дано уравнение

и нам требуется найти решение его при удовлетворяющее начальному условию В качестве функций и можно взять

В результате получим следующие функции и и:

Иногда удается подобрать так функции что и и

Тогда, очевидно, будем иметь Такими функциями, например, будут:

Действительно,

В силу условия Липшица, фигурная скобка по модулю не больше Таким образом,

Аналогично доказывается, что