4. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим сначала метод прямых решений смешанной задачи для простейшего уравнения теплопроводности

заменяя разностным отношением производную по х. При наборе прямых

используя приближенное равенство

или равенство (10) с заменой в нем производных из дифференциального уравнения получим две системы уравнений метода прямых:

и

из которых первая дает аппроксимацию уравнения с точностью а вторая с точностью

Из начального условия для получаем начальные условия для одинаковые в обоих случаях:

Построение общих решений однородных систем уравнений, соответствующих системам (55) и (56), проводится точно так же, как и в случае уравнения колебания струны, так как, отыскивая частные решения однородных систем вида

мы получим для в точности те же самые разностные уравнения, что и в п. 3, с граничными условиями а для отыскания получим уравнение

т. е.

Следовательно, общее решение однородной системы, соответствующей системе (55), будет иметь вид

где

а общее решение однородной системы, соответствующей системе (56), имеет вид

где

Далее, при заданных находятся, например, методом вариации постоянных общие решения систем (55) и (56), а неизвестные постоянные находятся из начальных условий (57).

В книге А. Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения математической физики» 1953 г. сходимость решения задачи (55), (57) к решению задачи (53), (54) и оценка погрешности при соответствующей гладкости свободного члена начальной и граничных функций доказывается с помощью принципа максимума для решения системы (55), (57).

В цитированной на стр. 550 заметке сходимость решений задач (55), (57) и (56), (57) к решению задачи (53), (54) в любом прямоугольнике доказана на основе применения теорем вложения при условии, что начальные и граничные условия нулевые, а правая часть удовлетворяет условиям

где С — некоторая положительная константа.

Рассмотрим теперь применение метода прямых с заменой производных по х разностными отношениями к уравнению теплопроводности с переменными коэффициентами.

Приближенные значения решения краевой задачи

на прямых можно получить, решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

В цитированной на стр. 551 статье предложен следующий способ доказательства сходимости и оценки погрешности метода. Положим где значение точного решения задачи (64) — (66) на прямой Для величин получаем систему

где константы определяются как в предыдущем параграфе. Рассмотрим величину

Дифференцируя (73), мы, в силу (70), (71), (72) и неравенства Коши — Буняковского, аналогично тому, как это сделано в соотношений (50), получим:

В силу неравенства Коши — Буняковского и (73) имеем:

Следовательно,

Для величины имеет место неравенство

получающееся аналогично неравенству (51). Из (51 и (74) вытекает оценка

Все это делается совершенно аналогично тому, как в предыдущем параграфе при оценке Заметим, что константа как и ранее, может быть выражена через известные функции.

В случае замены производной по разностным отношением, т. е. при выборе семейства прямых можно также построить системы уравнений метода прямых, аппроксимирующие с разной точностью дифференциальное уравнение (53)). Приведем две системы.

Заменим разностным отношением Тогда получим систему уравнений для отыскания приближенных значений решения на прямых вида

с граничными условиями

Эта система аппроксимирует уравнение (53) с точностью

Систему уравнений, аппроксимирующую уравнение (53) более точно, можно получить следующим образом. Предполагая, что решение задачи (53), (54) достаточно гладко, запишем следующие разложения по формуле Тейлора:

Умножая третье равенство на , четвертое на у и складывая их с первым и вторым равенствами, получим:

или

Заменяя в (78) производные по из уравнения (53) и отбрасывая получим для определения приближенных значений решения на прямых систему

с граничными условиями

Системы (76) и (79) можно решать как рекуррентные системы, если каким-либо способом найти

Пример. Построить методом прямых приближенное решение задачи

Для этого отрезок разделим на четыре части и проведем через точки деления прямые. Если приближенные значения решения на прямых , то для отыскания имеем систему линейных дифференциальных уравнений

с начальными условиями

Частное решение неоднородной системы можно искать в виде

Подстановка в систему дает

Общее решение однородной системы получаем из (62). Таким образом, общее решение неоднородной системы имеет вид

где

Для определения из начальных условий получаем систему

откуда

Итак, окончательно

Для точного решения на прямой имеем:

Для наглядности приведем следующие данные:

По поводу других применений метода прямых к решению краевых задач для уравнений в частных производных см. цитированные выше статьи Б. М. Будака и В. И. Лебедева, а также Я. И. Алихашкин, Решение задачи о несовершенной скважине методом прямых, Вычислит, математ., № 1, 1957; Б. М. Будак, А. Д. Горбунов, Метод прямых для решения одной нелинейной краевой задачи в области с криволинейной границей, ДАН, т. 118, № 5, 1958, стр. 858—862 или А. Д. Горбунов, Б. М. Будак, Метод прямых для решения одной нелинейной краевой задачи в области с криволинейной границей, Вестник МГУ, № 3, 1958, стр. 3—11; О. М. Белоцерковский, Расчет обтекания кругового цилиндра с отошедшей ударной волной, Вычислительная математика, сб. 3, 1958; Е. А. Григорьева, Метод прямых в смешанных задачах для параболических систем, ДАН, т. 119, № 4, стр. 649—651, 1958; Л. И. Камынин, О применении метода конечных разностей к решению уравнения теплопроводности, ИАН СССР, Серия математическая, 17 (1953), стр. 163—180 и стр. 249—268; П. И. Чушкин, Обтекание эллипсов и эллипсоидов дозвуковым потоком газа, Вычислит, математ., № 2, 1957.