4. Метод наименьших квадратов.
Для уравнения (2) будем искать приближенное решение
вида
где снова
некоторые заданные линейно независимые функции. Подстановка
в оператор
где
дает
Постоянные
будем находить из условия минимума интеграла
т. е. из условий, что
Используя явное выражение для функции Ф:
для отыскания
получим систему линейных алгебраических уравнений
где
Изложенный метод пригоден и для отыскания приближенных значений первых собственных значений ядра
Для этого полагаем
и приравниваем нулю определитель системы (45). Получим уравнение
степени относительно X, решая которое и найдем приближенные величины первых собственных значений ядра
Пример. Найти решение интегрального уравнения первого рода 1
где
К аналогичному уравнению приводит задача об отыскании статической нагрузки, под действием которой струна единичной длины, закрепленная на концах
примет форму, описываемую правой частью уравнения.
Первое приближение к решению будем искать в виде
Тогда
и метод наименьших квадратов дает для отыскания
следующую систему уравнений:
или
Решение этой системы
т. е.
Второе приближение будем искать в виде
Тогда
и метод наименьших квадратов дает для отыскания
систему
или
Решение этой системы будет:
Таким образом,
Это — точное решение уравнения, что легко проверить прямой подстановкой в уравнение.