4. Метод наименьших квадратов.

Для уравнения (2) будем искать приближенное решение вида

где снова некоторые заданные линейно независимые функции. Подстановка в оператор где

дает

Постоянные будем находить из условия минимума интеграла

т. е. из условий, что

Используя явное выражение для функции Ф:

для отыскания получим систему линейных алгебраических уравнений

где

Изложенный метод пригоден и для отыскания приближенных значений первых собственных значений ядра Для этого полагаем и приравниваем нулю определитель системы (45). Получим уравнение степени относительно X, решая которое и найдем приближенные величины первых собственных значений ядра

Пример. Найти решение интегрального уравнения первого рода 1

где

К аналогичному уравнению приводит задача об отыскании статической нагрузки, под действием которой струна единичной длины, закрепленная на концах примет форму, описываемую правой частью уравнения.

Первое приближение к решению будем искать в виде

Тогда

и метод наименьших квадратов дает для отыскания следующую систему уравнений:

или

Решение этой системы

т. е.

Второе приближение будем искать в виде

Тогда

и метод наименьших квадратов дает для отыскания систему

или

Решение этой системы будет:

Таким образом,

Это — точное решение уравнения, что легко проверить прямой подстановкой в уравнение.