4. Погрешность метода Лобачевского.

Погрешности в значениях корней, полученных по методу Лобачевского, могут происходить по трем причинам:

1) в силу неточности коэффициентов исходного уравнения точные значения корней не могут быть найдены: это — неустранимая погрешность, не зависящая от способа получения корней, и мы на ней останавливаться не будем;

2) процесс квадрирования уменьшает величины отношений и чем большее количество раз проведен процесс квадрирования, тем точнее будут приближенные равенства для определения корней, но при любом конечном числе квадрирований эти равенства будут

оставаться приближенными и, следовательно, корни могут быть найдены только приближенно; погрешность в значениях корней, происходящая по этой причине, есть погрешность самого метода;

3) в процессе квадрирования получаются числа с очень большим количеством знаков и их приходится округлять, что вносит дополнительную погрешность в значения корней, — это погрешность округления. В дальнейшем мы и рассмотрим погрешность метода и погрешность округления. Пусть дано уравнение

корни которого пока будем предполагать действительными, различными по абсолютной величине и упорядоченными следующим образом:

После квадрирований мы получим новое уравнение:

причем, если положить то

Для сокращения записей примем обозначение Тогда

Рассмотрим отношение

Вынесем из каждой суммы наибольшее слагаемое

где выписаны только наибольшие слагаемые. Так как то при достаточно большом достаточно малая величина. Далее, заменяя в числителе все отношения нулями, а в знаменателе наибольшей величиной получим неравенство

откуда

Если настолько велико, что то из неравенства (27) следует:

Более простой, но несколько более грубой оценкой будет

Рассмотрим теперь отношение

Заменяя в числителе все слагаемые, кроме первого, нулями, а в знаменателе наибольшим значением мы уменьшим правую часть, а заменив все отношения в числителе наибольшим отношением

а все отношения в знаменателе нулями, мы увеличим правую часть. Следовательно,

или

откуда

Используя неравенство (29), получим:

или

Так как

Если приближенное значение полученное после квадрирований, то Следовательно, (32) можно записать в таком виде:

Оценка (33) неудобна тем, что с помощью ее нельзя заранее предсказать число квадрирований, необходимых для получения нужной точности. Этот недостаток можно исправить, наложив новые ограничения на уравнение.

Допустим, что существует такое число что Тогда при Положив будем иметь Пусть — некоторое слагаемое в сумме Тогда

а следовательно,

Число слагаемых в сумме, стоящей в правой части неравенства (34), имеющих одну и ту же степень равно числу целочисленных решений уравнения

удовлетворяющих условию

Так как коэффициенты целые положительные числа, то

Аналогично

откуда

Следовательно,

или

или

Таким образом, относительная погрешность зависит только от Если известно или хотя бы его нижняя граница, то можно использовать эту оценку для определения числа квадрирований необходимых для получения корней с нужной относительной погрешностью.

Найдем теперь величину Известно, что число целочисленных решений уравнения

равно коэффициенту при в многочлене

Таким образом,

Вычисление значений для всех требует большой вычислительной работы, поэтому целесообразно найти при котором где фиксированное положительное число, не равное единице, имеет максимальное значение. Так как

где

Это означает, что

Если в (36) и (37) заменить и через

то получим оценки, пригодные для всех корней.

В качестве иллюстрации допустим, что нам дано и произведено четыре квадрирования. Тогда

Простые вычисления показывают, что

Отсюда

Таким образом, относительная ошибка корней после четырех квадрирований не будет превышать 0,0012.

Допустим теперь, что уравнение имеет комплексные корни, но такие, что соотношение сохраняется для корней с разными модулями, и если действительный корень, а

и пара комплексно-сопряженных корней, то

Тогда будут применимы все предыдущие рассуждения лишь с очень небольшими изменениями. Вместо неравенства (35) будет справедливо неравенство

левая часть этого неравенства может быть заменена на и следовательно,

Заменив максимальной величиной

лучим:

Оценим теперь скорость сходимости процесса квадрирования. Пусть мы провели дополнительное квадрирование. Тогда

где коэффициенты нового уравнения. Допустим, что проведено достаточное число квадрирований, так что настолько мало, что можно пренебречь его высшими степенями. При этом

в то время как

где с коэффициент при Это показывает, что относительная погрешность будет убывать в отношении при выполнении одного квадрирования.

Все предыдущие рассуждения проводились в предположении, что при реализации метода Лобачевского все вычисления проводились точно. На практике же приходится ограничиваться лишь конечным числом разрядов, т. е. проводить округление результатов операций. Поэтому даже если коэффициенты исходного уравнения были точными числами, то после некоторого числа квадрирований мы получим уравнение с приближенными коэффициентами и эта погрешность в дальнейшем будет сказываться на коэффициентах, а следовательно и на корнях уравнений, получающихся при последующих

квадрированиях. Дать какие-либо точные оценки влияния этих ошибок округления в коэффициентах квадрированных уравнений очень трудно. Поэтому мы приведем лишь очень грубые рассуждения, которые будут указывать на опасность резкой потери точности при применении метода Лобачевского в том или ином конкретном случае.

Рассмотрим сначала случай уравнения с различными по абсолютной величине действительными корнями. Пусть после квадрирований мы получили уравнение

корни которого Предположим, что имеют верных знаков. Выполняя еще одно квадрирование, получим уравнение

корнями которого будут числа Так как

а

то С другой стороны, по самому способу построения квадрированного уравнения

Можно считать, что имеют по верных знаков. Если имеет порядок то это будет означать (при небольших что будут также иметь верных знаков. Но если значительно меньше, чем что будет в том случае, когда из вычитается сумма близкая к то будем иметь резкую потерю верных знаков в Если — имеет порядок то в мы теряем примерно верных знаков. Но

так как Таким образом, по величине можно судить о потере значащих цифр в

Если рассмотреть крайний случай, когда все корни уравнения равны, то Отсюда и так как может быть велико, то мы будем иметь большую потерю точности. Например, если то следовательно, можно ожидать потери двух знаков при каждом квадрировании. В случае близких по модулю корней мы тоже будем иметь большую потерю точности и корни по методу Лобачевского будут найдены с большой относительной погрешностью. Точность будет тем лучше, чем лучше разделены корни.

В случае наличия комплексных корней, но при ограничениях на модули корней, при которых имеет место неравенство (42), заменяя через получим:

т. е. и здесь по величине отношения можно судить о потере точности в результате округлений.