Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2. Примеры.
Уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики. В качестве примеров приведем дифференциальные уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики, где метод характеристик находит широкое применение.
1. Плоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся течение идеального газа. Случай безвихревого движения. Система дифференциальных уравнений в этом случае имеет вид
где
составляющие безразмерной скорости по направлениям
выражающиеся через составляющие действительной скорости
по формулам
где
постоянная
газового потока,
скорость звука в покоящемся газе. Для плоского движения
для осесимметричного
этом случае
ось симметрии).
Уравнения характеристик для этой системы будут следующие: уравнения направления характеристик
где
корни уравнения
или
При сверхзвуковых скоростях
действительны и различны. Вычисляя определители (17), получим:
Отсюда, используя (16), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках:
Учитывая, что
и заменяя
из уравнений направлений характеристик, получим следующие дифференциальные уравнения характеристик рассматриваемой системы:
Иногда уравнения характеристик записывают в другой форме, принимая за искомые функции
и 9, где
имеет смысл абсолютной величины безразмерной скорости в данной точке,
угол наклона направления скорости с осью
Если, кроме того, ввести угол
(угол Маха) с помощью соотношений
то, выполнив замену искомых функций в уравнениях характеристик, придем к следующему результату:
где
Из этих уравнений следует, что если в точке
известно направление скорости 6 и мы отложим по ту и другую сторону от него углы, равные
то получим направления характеристик, проходящих через эту точку. Эти направления называют направлениями Маха, а линии, имеющие в каждой точке направление Маха, называют линиями Маха. Таким образом, характеристики совпадают с линиями Маха. Физический смысл их состоит в том, что если в некоторой точке сверхзвукового потока поместить источник малых возмущений, то они будут сказываться только в области, ограниченной линиями Маха, выходящими из этой точки (в осесимметричном пространственном случае это будет конус Маха).
2. Плоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся движение идеального газа. Случай вихревого движения. Система уравнений в этом случае имеет вид
где
имеют прежний смысл,
энтропия,
постоянная величина (удельная теплоемкость газа при постоянном давлении).
Для того чтобы выписать дифференциальные уравнения характеристик, найдем корни уравнения (19) и определители
Будем иметь:
или
Далее,
Подставляя их в соотношение (20), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках:
При
имеем:
Окончательно имеем следующие дифференциальные уравнения для характеристик:
Первое семейство характерно тем, что направление характеристики в каждой точке совпадает с направлением скорости потока в этой точке,
характеристики первого семейства являются линиями тока; энтропия вдоль них сохраняет постоянное значение. Две другие характеристики, выходящие из данной точки, будут совпадать с линиями Маха.
3. Одномерное неустановившееся течение в трубах. Безвихревое течение. Система дифференциальных уравнений движения идеального газа в этом случае имеет вид
где
координата вдоль оси трубы, и — скорость в сечении х трубы в момент времени
а — местная скорость звука,
площадь поперечного сечения трубы.
Уравнения направлений характеристик имеют вид
где
корни уравнения
или
Здесь мы видим, что система будет гиперболической всегда, в то время как в случае установившихся течений она будет гиперболической лишь в сверхзвуковой области.
Определители
будут иметь следующие значения:
Следовательно, дифференциальные соотношения на характеристиках будут:
или, подставляя
и сокращая на а, будем иметь:
Итак, дифференциальные уравнения характеристик таковы:
4. Одномерное неустановившееся течение в трубах. Вихревое течение. В этом случае уравнения движения имеют вид
где и, а имеют прежний смысл, 5 — энтропия,
постоянная (удельная теплоемкость газа при постоянном объеме). Уравнения направлений характеристик
где
корни уравнения
или
Дифференциальные соотношения на характеристиках получим из уравнения (20):
При
это условие превращается в тождество. Поэтому условие на характеристиках первого семейства получим, используя другое соотношение:
откуда следует, что на характеристиках первого семейства
Окончательно будем иметь следующие уравнения характеристик: