3. Метод сеток решения смешанной задачи.

Метод сеток решения задачи Коши для уравнения (1) с небольшими изменениями может быть применен и для решения смешанной задачи. Рассмотрим сначала первую краевую задачу:

Найти решение уравнения (1) в области удовлетворяющее начальным условиям

и граничным условиям

Отрезок можно с помощью линейного преобразования переменного х свести к отрезку [0, 1], поэтому в дальнейшем мы будем полагать

Проведем две системы параллельных прямых:

и точки пересечения их назовем узлами сетки. Узлы, лежащие на прямых назовем граничными, а лежащие внутри области О — внутренними узлами. Для каждого внутреннего узла, так же как и в случае задачи Коши, напишем разностное уравнение (7), аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1) в этом узле. Значения искомого решения в узлах нулевого горизонтального ряда и во внутренних узлах первого ряда найдем с помощью начальных условий по формулам (9) или (10), значения же решения в граничных узлах, лежащих на прямых определим из граничных условий, положив

Рис. 42.

Тогда, используя уравнение (7), мы можем найти последовательно приближенные значения решения во внутренних узлах второго ряда, затем в узлах третьего горизонтального ряда и т. д., т. е. сможем вычислить значения решения во всех узлах сетки.

Если граничные условия заданы на прямых на отрезках разной длины, то решение может быть найдено в узлах сетки, отмеченных на рис. 43 жирными точками. Заметим, что в первой краевой задаче, если предполагать, что значения граничных функций граничных узлах вычисляются точно, то граничные

условия не внесут дополнительной погрешности по сравнению со случаем задачи Коши.

Рассмотрим теперь вторую и третью краевые задачи. Для того чтобы не повторять рассуждений, будем рассматривать случай, когда при заданы условия

т. е. третью краевую задачу, так как, полагая получим как частный случай и вторую краевую задачу. Если для решения задачи используется такая же сетка, как и в случае первой краевой задачи, то в этом случае значения в граничных узлах, расположенных на прямых не могут быть непосредственно определены из граничных условий. Для этих граничных узлов нужно записать разностные уравнения, аппроксимирующие дифференциальные соотношения на границе.

Аппроксимация граничных условий может быть выполнена следующим образом. Производные в граничных узлах заменим соответственно конечными разностями

Рис. 43.

Тогда для граничных узлов используя условия (4), можно записать следующие разностные уравнения:

Легко видеть, что погрешность аппроксимации граничных условий в этом случае будет первого порядка относительно А. Поэтому начальные условия также достаточно аппроксимировать с этой точностью, т. е. для отыскания значений решения в узлах первых двух горизонтальных рядов можно воспользоваться равенствами (9). Итак, для определения приближенных значений решения в граничных и внутренних узлах сетки имеем систему уравнений

С помощью уравнений (9) мы найдем значения решения во всех узлах первого и нулевого горизонтальных рядов, включая и узлы из уравнений (7) найдутся значения решения во всех внутренних узлах второго горизонтального ряда, а с помощью уравнений (23) найдем значения решения в граничных узлах второго горизонтального ряда. Далее переходим к третьему горизонтальному ряду и т. д.

Более точную аппроксимацию граничных условий можно получить, заменив входящие в них производные центральными разностями. Это можно сделать двумя способами

Первый способ. Кроме рассматриваемых узлов, привлечем еще узлы вертикальных рядов (см. рис. 44) и будем аппроксимировать граничные условия в узлах и соответственно разностными уравнениями

Для исключения значений используем разностные уравнения, аппроксимирующие дифференциальное уравнение в узлах и т. е.

Подставляя в них и из уравнений (24), получим:

Так как аппроксимация граничных условий в этом случае имеет порядок (в предположении, что уравнение (1) имеет место и на гралицах а также предполагая, что решение можно гладко продолжить за эти прямые), то естественно и начальные условия аппроксимировать с точностью до т. е. использовать формулы (10) для Для определения значений решения в узлах и поступим следующим образом.

Запишем уравнения (25) для узлов и т. е. просто положим в них

Вооио,

и, используя аппроксимацию второго начального условия, с помощью центральных разностей

исключим Получим:

Окончательно получим следующую систему уравнений для отыскания значений решения во всех внутренних и граничных узлах:

Используя ее, можно последовательно находить значения решения в узлах первого ряда, затем второго ряда и т. д.

Второй способ. Будем рассматривать сетку, сдвинутую на в направлении оси х (см. рис. 45). При таком выборе сетки граничные узлы и уже не будут лежать на прямых

Граничные условия (4) будем аппроксимировать разностными уравнениями

Очевидно, мы снова имеем аппроксимацию второго порядка относительно А, поэтому и начальные условия нужно аппроксимировать с такой же точностью, т. е. для вычисления значений использовать равенства (10). Таким образом, окончательно получим следующую систему разностных уравнений:

Нужные нам для счета значения можно получить с помощью экстраполяции или вообще с помощью продолжения функций за пределы их области определения, сохраняя нужную гладкость.

Рис. 44.

Рис. 45.

Значения приближенного решения на истинных границах могут быть после решения системы (28) найдены с помощью интерполяции. Система (28), как и во всех

предыдущих случаях, решается последовательно, т. е. находятся значения сначала в узлах первого горизонтального ряда, затем в узлах второго горизонтального ряда и т. д.