5. Численное решение гиперболической системы трех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо.

Метод Массо, изложенный в предыдущем пункте, может быть применен и для численного решения гиперболической системы трех квазилинейных уравнений первого порядка:

Элементарная задача в этом случае решается следующим образом.

Пусть 1 и 2 — две близкие точки, в которых известны все величины ). Будем обозначать через корни уравнения (19) в порядке их возрастания, вычисленные для точки Обозначим через О середину отрезка, соединяющего точки 1 и 2. Координаты этой точки суть

Положим, что в этой точке

Из точки 1 проведем прямую в направлении характеристики, соответствующей

а из точки 2 проведем прямую в направлении характеристики, соответствующей т. е.

Точку их пересечения обозначим номером 3. Координаты этой точки найдутся из решения системы

Из уравнений

найдем новые координаты точки Вводя обозначение

линейной интерполяцией определяем значения в точке

Рис. 55.

Далее, принимая отрезки за характеристики и используя дифференциальные соотношения (21) вдоль характеристик, пишем систему уравнений для определения первых приближений в точке 3:

где значения в точке . Найдя точку 3: производим ее уточнение одним из следующих способов.

Первый способ. Вычисляем значения используя первое приближение точки 3, а также Находим величины

Находим координаты уточненных точек и 3 по формулам:

и значения по формулам:

Используя эти формулы, вычисляем а затем Со и находим значения решая систему уравнений

Таким образом, мы находим второе приближение точки 3 и продолжаем уточнение до совпадения с заданной точностью двух последовательных приближений

Второй способ. Этот способ аналогичен первому, но только берутся не средние арифметические величины по формулам (45) в точках и 3, а значения этих величин вычисляются в средних точках отрезков В остальном процесс уточнения остается такой же.

С помощью этого элементарного построения задача Коши и задача Гурса решаются точно так же, как было описано в предыдущем пункте.

Рис. 56. Задача Коши.

Рис. 57. Задача Гурса.

При решении задачи Коши с начальными данными на дуге не имеющей характеристических направлений, решение можно найти в криволинейном четырехугольнике, ограниченном крайними характеристиками, выходящими из точек а в задаче Гурса в криволинейном четырехугольнике, ограниченном двумя заданными характеристиками и двумя другими характеристиками экстремальных направлений, выходящими из концов заданных характеристик (рис. 57—59).

Рис. 58. Задача Гурса.

Рис. 59. Задача Гурса.

Первая смешанная задача решается путем последовательного решения задачи Коши, а затем задачи Гурса; только при постановке задачи нужно требовать, чтобы кривая не являющаяся характеристикой, лежала бы вне угла, образованного крайними характеристиками, выходящими из точки а, а заданная характеристика не должна быть ближайшей к кривой (рис. 60 и 61). На остальных задачах в этом случае мы не будем останавливаться ввиду многообразия их постановок.