2. Уравнение Пуассона.

Пусть в прямоугольнике требуется найти решение уравнения Пуассона

удовлетворяющее граничному условию

Рис. 73.

Для решения задачи применим метод сеток, выбрав в качестве узлов точки с координатами

Для внутренних узлов запишем разностные уравнения

аппроксимирующие уравнение (21) с точностью а граничные условия (22) аппроксимируем с той же точностью соотношениями:

Таким образом, мы получим систему уравнений с таким же количеством неизвестных

Используя граничные условия выразим через Будем иметь:

где

Используя эти соотношения, исключим в системе (23) неизвестные Если ввести обозначение то получим систему

где

Эту систему коротко можно записать в виде

где

Граничные условия (24,) и (242) можно переписать в виде

где

Положив

можно записать системы (31,) и (312) в таком виде:

Окончательно имеем следующую систему уравнений:

Эту систему будем решать методом прогонки. Прямую прогонку мы совершим, если найдем такие матрицы и векторы чтобы при всех имело место равенство

Для отыскания подставим из (36) в ( Получим:

или

Таким образом,

Так как известны, то с помощью (37) и (38) мы сможем найти при всех Из и (36) при получим:

и, следовательно, сможем найти Далее, используя (36), последовательно находим выполнив обратную прогонку с помощью (36), найдем все нужные значения и

При этом способе вместо решения системы из уравнений необходимо обратить матриц порядка что значительно экономичнее с точки зрения объема вычислительной работы. Естественно оси целесообразно ориентировать так, чтобы было

Покажем, что погрешности в граничных значениях не приведут к значительным погрешностям в значениях получаемым этим методом, если только Ограничимся случаем что равносильно тому, что на отрезках заданы граничные условия первого рода:

Для того чтобы доказать это утверждение, покажем сначала, что Если то

Матрица А симметрична, поэтому она имеет полную ортонормированную систему собственных векторов соответствующих собственным значениям Любой -мерный вектор z можно представить в виде

а

и

Таким образом,

Покажем, что а для этого просто вычислим характеристический определитель матрицы А, т. е.

Раскрывая его по элементам первой строки, имеем:

Это соотношение можно рассматривать как линейное разностное уравнение второго порядка относительно Его общее решение имеет вид

где корни уравнения

т. е.

Для сокращения записи положим Тогда

Для отыскания заметим, что

поэтому

откуда

и

Легко проверить, что при или

Отсюда следует, что и из

Докажем теперь, что если то

В самом деле, пусть произвольный вектор, а

Так как то

Но Отсюда

а это означает, что

Так как то при всех

Погрешности в значениях граничных функций вызовут погрешности в которые будут распространяться при прямой и обратной прогонках и скажутся на значениях Вместо точных значений всех величин мы получим приближенные значения

с погрешностями Предполагая, что вычислительных погрешностей мы не допускаем, будем иметь:

откуда

или

Таким образом, для линейной части погрешности имеем равенство

Но так как то

т. е. погрешность не возрастает с возрастанием Далее.

т. е. для линейной части погрешности имеет место равенство

из которого видно, что в силу быстрого роста погрешности не будет.

Так как обратную прогонку мы выполняем с помощью рекуррентного соотношения (36), то

и для линейной части погрешности имеем:

т. е. и при обратной прогонке нет резкого возрастания погрешности.