3. Отыскание собственных значений и собственных векторов несимметрических матриц, имеющих простую структуру.

Обобщим теперь полученные для симметрических матриц результаты на более общий случай. Предварительно напомним некоторые факты из линейной алгебры. Пусть А — произвольная матрица с действительными или комплексными элементами Матрица А, элементы которой удовлетворяют условиям (транспонирование и комплексная сопряженность), называется сопряженной по отношению к А. Если то матрица А называется эрмитовой. Эрмитова матрица имеет простую структуру и все ее собственные значения действительны. Систему собственных векторов эрмитовой матрицы можно считать ортонормированной в соответствующем комплексном векторном -мерном пространстве Вследствие этого на эрмитовы матрицы можно перенести с необходимыми видоизменениями результаты, полученные для симметрических матриц.

Рассмотрим связь между инвариантными многообразиями матрицы А и сопряженной матрицы А. Пусть некоторое линейное многообразие инвариантно относительно А, т. е. из следует Рассмотрим совокупность векторов ортогональных к каждому вектору Если размерность меньше то множество не пусто. Очевидно, в свою очередь является линейным многообразием. Покажем, что это многообразие инвариантно относительно А. Действительно, если произвольный вектор из то для любого вектора имеет место Но следовательно, что и требовалось доказать.

Пусть матрица А имеет простую структуру и ее линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственным значениям Линейное многообразие, построенное на векторах будет иметь

размерность Следовательно, в имеется вектор ортогональный этому многообразию. Как явствует из предыдущего, будет являться собственным вектором А. При этом не может быть ортогональным Следовательно, умножив его на подходящий множитель, можно достигнуть того, что Проведя эти рассуждения для всех мы придем к выводу, что А имеет простую структуру и собственные векторы можно выбрать так, что они будут образовывать биортонормированную систему, т. е.

Отметим еще, что если имеют общий собственный вектор то собственные значения, которым соответствует этот собственный вектор, будут комплексно сопряжены. Действительно, если то

откуда и следует утверждение.

Матрицу А называют нормальной, если она перестановочна с своей сопряженной Перестановочные матрицы всегда имеют общий собственный вектор. Действительно, если то Начиная с некоторого линейное многообразие построенное на векторах будет инвариантно относительно В. Следовательно, в этом многообразии будет существовать собственный вектор Но любой вектор этого многообразия является собственным для А. Тем самым утверждение доказано. В частности, если А — нормальная матрица, то для будет иметься общий собственный вектор. Как следует из предыдущего, собственные значения, которым соответствует этот общий собственный вектор, будут комплексно сопряжены. Обозначим найденный таким образом общий собственный вектор через и пусть Тогда Рассмотрим линейное многообразие векторов, ортогональных к Как следует из предыдущего, это линейное многообразие будет инвариантно как относительно А, так и относительно А. Такими же рассуждениями, как и ранее, придем к выводу, что в будет существовать общий собственный вектор для При этом, если то Очевидно, Затем можно провести такие же рассуждения в линейном многообразии векторов, ортогональных В конце концов, мы придем к заключению, что нормальная матрица имеет полную ортонор миро ванную систему собственных векторов. Эти векторы являются также собственными векторами А, причем соответствующие собственные значения комплексно сопряжены.

Можно показать, что наличие полной ортонормированной системы собственных векторов является необходимым и достаточным условием нормальности матрицы. Нормальная матрица будет являться эрмитовой тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительны.

Из изложенного видно, что и для нормальных матриц можно провести рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены для симметрических матриц. При отыскании модулей собственных значений матрицы простой структуры, не являющейся нормальной, может оказаться целесообразным наряду с векторами образовывать векторы и рассматривать их скалярное произведение. При этом если

где образуют биортогональную систему векторов, то

Если матрица А имеет несколько равных или близких корней, то это не вызывает никаких принципиальных затруднений. Так, если для матрицы А простой структуры то разложение (2) примет вид

Таким образом, при снова будем иметь:

При этом один из собственных векторов, соответствующих собственному значению будет приближенно равен при достаточно большом k. Второй собственный вектор, соответствующий собственному значению можно получить, если взять другой начальный вектор. Однако неизбежные ошибки округления будут изменять компоненты по направлению векторов и тем самым замедлять сходимость. Медленная сходимость будет наблюдаться также и при наличии близких корней. Если матрица имеет два равных по модулю, но различных корня, превышающих по абсолютной величине все остальные корни, то сходимости вообще наблюдаться не будет.

Во всех трех случаях мы сможем при больших к написать приближенные равенства:

Таким образом, между тремя векторами будет иметь место приближенная линейная зависимость. Нетрудно проверить, что эта линейная зависимость может быть записана в виде

Следовательно, если в процессе вычислений мы обнаружим, что векторы связаны некоторым линейным соотношением вида

то будут удовлетворять квадратному уравнению

Фактически квадратное уравнение можно получить, если рассмотреть определители

Рассмотрим пример на применение этого метода. Ниже приведены матрица четвертого порядка, для которой ищутся собственные значения и собственные векторы, и результаты итерации с ее помощью вектора :

(см. скан)

Как видно из этой таблицы, отношения соответствующих компонент последовательных итераций ведут себя довольно беспорядочно,

имеют место перемены знаков. Это указывает на наличие комплексных корней. Уравнение для определения и будет иметь вид

Отсюда

и

Точные значения корней в данном случае будут

У нас получились довольно грубые значения. Это объясняется тем, что мы провели недостаточное число итераций и, вообще говоря, корни определять было еще рано.

После того как будет решено уравнение (79), можно найти и собственные векторы. Из равенств (76) получаем:

Эти результаты можно обобщить на случай, когда имеется более двух равных по модулю или близких по модулю собственных значений.