§ 7. Итерационные методы отыскания собственных значений и собственных векторов матриц

1. Отыскание наибольшего по модулю действительного собственного значения матрицы простой структуры. Случай симметрической матрицы.

Будем предполагать сначала, что матрица А имеет простую структуру. Это значит, что если порядок матрицы А равен то имеется линейно независимых собственных векторов А. Обозначим собственные значения матрицы А через и соответствующие им линейно независимые собственные векторы — через

Произвольный вектор может быть записан в виде

Образуем последовательность векторов:

Вынося в последнем выражении за скобки, получим:

При этом если

Таким образом, для достаточно больших вектор будет близок к собственному вектору матрицы А, соответствующему наибольшему по модулю собственному значению. Может случайно оказаться, что т. е. компонента о по направлению вектора равна

нулю. Однако это не изменит принципиально наших выводов. В процессе вычислений в связи с ошибками округления мы неизбежно введем соответствующую компоненту. Введенная компонента в конце концов забьет все остальные. Может оказаться лишь, что потребуется значительное число итераций.

Далее, будем обозначать -ю компоненту некоторого вектора и по отношению к произвольным координатным векторам через Тогда из (2) следует:

Таким образом, при достаточно больших к величина

будет близка к наибольшему по модулю собственному значению. При практических вычислениях показателем того, что мы достаточно хорошо приблизились будет постоянство отношений (с требуемой точностью) соответствующих компонент

Пусть, в частности, матрица А симметрическая. Тогда векторы можно считать ортонормированными и за приближенное значение собственного вектора будем брать

(Здесь везде берется третья норма главы 6.) Так как ортонормированы, то для можно получить более точное приближение. Обозначим В силу (4) будем иметь и, следовательно,

Покажем еще, как можно уточнить значение если А есть симметрическая матрица. Положим

Тогда, так как

где вообще говоря, отличен от нуля, то

Считая малыми, отбросим последний член левой части как малую величину более высокого порядка. При этом равенство (10) перейдет в

Умножим скалярно обе части равенства (11) на Получим:

Но

Следовательно, равенство (12) даст

Полученное 8 можно использовать для уточнения найденного приближенного значения если заменить в правой части на

Умножим теперь обе части равенства (11) на Получим:

Но

и, следовательно,

Найдем еще Так как

то

и

Выражения (18) и (21) позволяют оценить норму вектора Действительно,

Таким образом,

Перепишем (18) в виде

Так как

то

В силу (23) будем иметь:

и так как меньше чем то

Это выражение может служить оценкой для если использовать вместо какие-то их приближенные значения.